Exercício 6 - Diferentes funções
Para cada equação abaixo, isole uma raiz em um intervalo a, b adequado (use o Teorema de Bolzano) e realize 5 iterações da bisseção, organizando os resultados em tabela.
\ln x=x-2

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Isolar uma raiz da equação \ln x = x - 2 em um intervalo [a,b] apropriado, usando o Teorema de Bolzano.
  • Realizar 5 iterações do método da bisseção a partir desse intervalo e organizar os resultados em tabela.
Informações relevantes dadas ou inferidas diretamente do enunciado:
  • A equação pode ser escrita como uma função f cuja raiz procuramos:
f(x)=\ln x - x + 2.
  • Domínio da função: x>0 (porque \ln x está definido só para x>0).
  • Objetivo prático: encontrar um intervalo [a,b] com f(a)\cdot f(b)<0 (condição de Bolzano) e aplicar a bisseção 5 vezes.

Passo 2

Teorema de Bolzano (explicação didática): se f é contínua em [a,b] e f(a)\cdot f(b)<0, então existe pelo menos um c\in(a,b) tal que f\text{(c)}=0. Aqui usamos isso para garantir que a equação tem raiz dentro de um intervalo onde a função muda de sinal.
Verificação de continuidade e escolha do intervalo:
  • f(x)=\ln x - x + 2 é soma/ subtração de funções contínuas em (0,\infty), logo f é contínua em qualquer intervalo contido em (0,\infty).
  • Vamos testar valores inteiros para achar mudança de sinal: f(3)=\ln 3 - 3 + 2.Usando \ln 3 \approx 1{,}098612289, f(3)\approx 1{,}098612289 - 1 = 0{,}098612289>0.
f(4)=\ln 4 - 4 + 2.
Usando \ln 4 \approx 1{,}386294361,
f(4)\approx 1{,}386294361 - 2 = -0{,}613705639<0.
  • Como f(3)>0 e f(4)<0, temos f(3)\cdot f(4)<0. Pelo Teorema de Bolzano existe pelo menos uma raiz em [3,4].
Observação amigável: escolhi [3,4] porque os sinais em x=3 e x=4 são opostos — é o passo padrão para aplicar Bolzano.

Passo 3

Descrição do método da bisseção (aula prática rápida):
  • Dado um intervalo [a,b] com f(a)\cdot f(b)<0, o método calcula o ponto médio
m=\frac{a+b}{2}.
  • Avalia f(m). Se f(m)=0 encontramos a raiz exata. Se f(m)\neq0, a raiz fica no subintervalo onde há mudança de sinal:
    • Se f(a)\cdot f(m)<0 então a raiz está em [a,m].
    • Se f(m)\cdot f(b)<0 então a raiz está em [m,b].
  • Repetimos o processo. Cada iteração reduz o tamanho do intervalo pela metade.
  • Vou fazer 5 iterações a partir de [a_0,b_0]=[3,4]. Notação: a_k,b_k são os extremos no começo da iteração k, e m_k o ponto médio.
Iteração 1 (k=1):
  • a_0=3, b_0=4.
  • Ponto médio: m_1=\frac{3+4}{2}=3{,}5.
  • Avaliações (valores de \ln aproximados): f(3)\approx 0{,}098612289 \quad(\text{já calculado}),á
f(4)\approx -0{,}613705639 \quad(\text{já calculado}),á
f(3{,}5)=\ln 3{,}5 - 3{,}5 + 2.
Usando \ln 3{,}5\approx 1{,}252762968,
f(3{,}5)\approx 1{,}252762968 - 1{,}5 = -0{,}247237032.
  • Como f(3)>0 e f(3{,}5)<0, a raiz está em [3,3{,}5]. Portanto o novo intervalo é a_1=3, b_1=3{,}5.

Passo 4

Iteração 2 (k=2):
  • a_1=3, b_1=3{,}5.
  • Ponto médio: m_2=\frac{3+3{,}5}{2}=3{,}25.
  • Avaliação: f(3{,}25)=\ln 3{,}25 - 3{,}25 + 2.Usando \ln 3{,}25\approx 1{,}178654996, f(3{,}25)\approx 1{,}178654996 - 1{,}25 = -0{,}071345004.
  • Temos f(3)>0 e f(3{,}25)<0, então a raiz está em [3,3{,}25]. Novo intervalo: a_2=3, b_2=3{,}25.

Passo 5

Iteração 3 (k=3):
  • a_2=3, b_2=3{,}25.
  • Ponto médio: m_3=\frac{3+3{,}25}{2}=3{,}125.
  • Avaliação: f(3{,}125)=\ln 3{,}125 - 3{,}125 + 2.Usando \ln 3{,}125\approx 1{,}139434283, f(3{,}125)\approx 1{,}139434283 - 1{,}125 = 0{,}014434283.
  • Agora f(3{,}125)>0 e f(3{,}25)<0, então a raiz está em [3{,}125,3{,}25]. Novo intervalo: a_3=3{,}125, b_3=3{,}25.

Passo 6

Iteração 4 (k=4):
  • a_3=3{,}125, b_3=3{,}25.
  • Ponto médio: m_4=\frac{3{,}125+3{,}25}{2}=3{,}1875.
  • Avaliação: f(3{,}1875)=\ln 3{,}1875 - 3{,}1875 + 2.Usando \ln 3{,}1875\approx 1{,}159044639 (aproximação), f(3{,}1875)\approx 1{,}159044639 - 1{,}1875 = -0{,}028455361.
  • Como f(3{,}125)>0 e f(3{,}1875)<0, a raiz está em [3{,}125,3{,}1875]. Novo intervalo: a_4=3{,}125, b_4=3{,}1875.

Passo 7

Iteração 5 (k=5) e tabela com resumo das 5 iterações:
  • a_4=3{,}125, b_4=3{,}1875.
  • Ponto médio: m_5=\frac{3{,}125+3{,}1875}{2}=3{,}15625.
  • Avaliação: f(3{,}15625)=\ln 3{,}15625 - 3{,}15625 + 2.Usando \ln 3{,}15625\approx 1{,}149239461 (aproximação), f(3{,}15625)\approx 1{,}149239461 - 1{,}15625 = -0{,}007010539.
  • Como f(3{,}125)>0 e f(3{,}15625)<0, a raiz está em [3{,}125,3{,}15625]. Esse é o intervalo obtido após 5 iterações.
Tabela (cada número matemático entre ...; vírgulas decimais conforme enunciado):
Iteração k a_k b_k m_k=(a_k+b_k)/2 f(a_k) f(b_k) f(m_k) Intervalo escolhido
1 3 4 3{,}5 0{,}098612289 -0{,}613705639 -0{,}247237032 [3,3{,}5]
2 3 3{,}5 3{,}25 0{,}098612289 -0{,}247237032 -0{,}071345004 [3,3{,}25]
3 3 3{,}25 3{,}125 0{,}098612289 -0{,}071345004 0{,}014434283 [3{,}125,3{,}25]
4 3{,}125 3{,}25 3{,}1875 0{,}014434283 -0{,}071345004 -0{,}028455361 [3{,}125,3{,}1875]
5 3{,}125 3{,}1875 3{,}15625 0{,}014434283 -0{,}028455361 -0{,}007010539 [3{,}125,3{,}15625]
Observações finais rápidas e encorajamento:
  • Os valores de \ln usados nas avaliações foram aproximados (valores comuns: \ln 3\approx 1{,}098612289, \ln 4\approx 1{,}386294361, etc.). Em prova, use calculadora ou tabela de logaritmos para obter essas aproximações.
  • Após 5 iterações a incerteza máxima sobre a raiz é o tamanho do intervalo final b_5-a_5=3{,}15625-3{,}125=0{,}03125; o valor médio do intervalo final é uma boa aproximação da raiz: \text{aprox. da raiz}=\frac{3{,}125+3{,}15625}{2}=3{,}140625.
  • Bom trabalho! A bisseção é um método robusto e fácil de aplicar quando se tem mudança de sinal; com prática você vai fazer essas iterações rapidamente.

Resposta

Intervalo inicial (Bolzano): [3,4]
Intervalo após 5 iterações: [3{,}125,3{,}15625] — aproximação central 3{,}140625

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