Exercício 6 - Diferentes funções
Para cada equação abaixo, isole uma raiz em um intervalo
adequado (use o Teorema de Bolzano) e realize 5 iterações da bisseção, organizando os resultados em tabela.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Isolar uma raiz da equação
em um intervalo apropriado, usando o Teorema de Bolzano. - Realizar 5 iterações do método da bisseção a partir desse intervalo e organizar os resultados em tabela.
Informações relevantes dadas ou inferidas diretamente do enunciado:
- A equação pode ser escrita como uma função
cuja raiz procuramos:
- Domínio da função:
(porque está definido só para ). - Objetivo prático: encontrar um intervalo
com (condição de Bolzano) e aplicar a bisseção 5 vezes.
Passo 2
Teorema de Bolzano (explicação didática): se
é contínua em
e
, então existe pelo menos um
tal que
. Aqui usamos isso para garantir que a equação tem raiz dentro de um intervalo onde a função muda de sinal.
Verificação de continuidade e escolha do intervalo:
-
é soma/ subtração de funções contínuas em , logo é contínua em qualquer intervalo contido em . - Vamos testar valores inteiros para achar mudança de sinal:
Usando ,
Usando
,
- Como
e , temos . Pelo Teorema de Bolzano existe pelo menos uma raiz em .
Observação amigável: escolhi
porque os sinais em
e
são opostos — é o passo padrão para aplicar Bolzano.
Passo 3
Descrição do método da bisseção (aula prática rápida):
- Dado um intervalo
com , o método calcula o ponto médio
- Avalia
. Se encontramos a raiz exata. Se , a raiz fica no subintervalo onde há mudança de sinal: - Se
então a raiz está em . - Se
então a raiz está em .
- Se
- Repetimos o processo. Cada iteração reduz o tamanho do intervalo pela metade.
- Vou fazer 5 iterações a partir de
. Notação: são os extremos no começo da iteração , e o ponto médio.
Iteração 1 (k=1):
-
, . - Ponto médio:
- Avaliações (valores de
aproximados):
Usando
,
- Como
e , a raiz está em . Portanto o novo intervalo é , .
Passo 4
Iteração 2 (k=2):
-
, . - Ponto médio:
- Avaliação:
Usando , - Temos
e , então a raiz está em . Novo intervalo: , .
Passo 5
Iteração 3 (k=3):
-
, . - Ponto médio:
- Avaliação:
Usando , - Agora
e , então a raiz está em . Novo intervalo: , .
Passo 6
Iteração 4 (k=4):
-
, . - Ponto médio:
- Avaliação:
Usando (aproximação), - Como
e , a raiz está em . Novo intervalo: , .
Passo 7
Iteração 5 (k=5) e tabela com resumo das 5 iterações:
-
, . - Ponto médio:
- Avaliação:
Usando (aproximação), - Como
e , a raiz está em . Esse é o intervalo obtido após 5 iterações.
Tabela (cada número matemático entre
; vírgulas decimais conforme enunciado):
| Iteração
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Intervalo escolhido |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 |
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| 2 |
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| 3 |
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| 4 |
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| 5 |
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Observações finais rápidas e encorajamento:
- Os valores de
usados nas avaliações foram aproximados (valores comuns: , , etc.). Em prova, use calculadora ou tabela de logaritmos para obter essas aproximações. - Após 5 iterações a incerteza máxima sobre a raiz é o tamanho do intervalo final
; o valor médio do intervalo final é uma boa aproximação da raiz: - Bom trabalho! A bisseção é um método robusto e fácil de aplicar quando se tem mudança de sinal; com prática você vai fazer essas iterações rapidamente.
Resposta
Intervalo inicial (Bolzano):
Intervalo após 5 iterações: — aproximação central
Intervalo após 5 iterações: