Exercício 6.8. João está jogando um dado e conta o número de tentativas necessárias até que a face 3 apareça pela primeira vez. Seja
a variável aleatória que realiza essa contagem. Calcule o valor esperado de X.
Passo 1
Vamos lá! O João está jogando um dado e quer saber quantas vezes ele precisa jogá-lo até sair o número 3 pela primeira vez. Isso envolve conceitos de probabilidade e variáveis aleatórias. Para resolver, vamos precisar entender como calcular o valor esperado de uma variável aleatória que conta tentativas até um sucesso.
Passo 2
Primeiro, vamos definir qual é a probabilidade de sucesso em cada tentativa. Aqui, “sucesso” significa que o número 3 aparece no dado. Como um dado comum tem 6 faces, a probabilidade de sair qualquer número específico, como o 3, é:
Passo 3
Agora, estamos lidando com uma situação onde queremos saber o número de tentativas até o primeiro sucesso. Esse tipo de variável aleatória segue a distribuição geométrica. A distribuição geométrica é usada para modelar o número de experimentos necessários para obter o primeiro sucesso em uma sequência de ensaios independentes.
Passo 4
Para uma variável aleatória $ X $ que segue a distribuição geométrica com probabilidade de sucesso $ p $, o valor esperado (ou expectativa) de $ X $ é dado por:
Isso significa que, em média, serão necessárias $ \frac{1}{p} $ tentativas para que ocorra o primeiro sucesso.
Passo 5
Aplicando essa fórmula ao nosso caso, onde $ p = \frac{1}{6} $:
Resposta
O valor esperado de $ X $ é 6 tentativas.