Se a variável aleatória X é uniformemente distribuída com parâmetros mu e sigma^2, então a variável aleatória Z=(X-mu) / sigma tem distribuição normal padrão.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado da questão diz que temos uma variável aleatória $ X $ que é distribuída uniformemente com parâmetros $ \mu $ e $ \sigma^{2} $. A proposta é mostrar que, ao transformar $ X $ na variável $ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} $, $ Z $ teria uma distribuição normal padrão. Vamos precisar entender o que é uma distribuição uniforme, como fazemos transformações lineares e o que caracteriza uma distribuição normal padrão.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma distribuição uniforme. Uma variável aleatória $ X $ é uniformemente distribuída se todos os intervalos de mesma extensão dentro do seu intervalo de definição têm a mesma probabilidade. Por exemplo, se $ X $ está distribuída uniformemente entre $ a $ e $ b $, então $ X $ tem média $ \mu = \frac{a + b}{2} $ e variância $ \sigma^{2} = \frac{(b - a)^2}{12} $.

Passo 3

Agora, vamos entender a transformação que está sendo feita: $ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} $. Essa é uma transformação linear que desloca $ X $ pela sua média $ \mu $ e depois escala pelo desvio padrão $ \sigma $ (que é a raiz quadrada da variância). Esse tipo de transformação é comum para padronizar variáveis, ou seja, ajustar para que tenham média 0 e variância 1.

Passo 4

No entanto, é importante lembrar que transformar uma variável $ X $ dessa maneira não muda o tipo da distribuição de $ X $. Se $ X $ é normalmente distribuída, então $ Z $ também será normalmente distribuída com média 0 e variância 1. Mas se $ X $ tem uma distribuição diferente, como a distribuição uniforme, a transformação não fará com que $ Z $ se torne uma distribuição normal.

Passo 5

Portanto, mesmo após a transformação $ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} $, a variável $ Z $ ainda seguirá uma distribuição uniforme, apenas com média 0 e variância 1. Ela não se tornará uma distribuição normal padrão, pois a forma da distribuição uniforme é diferente da forma de uma distribuição normal.

Resposta

Não, a variável aleatória $ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} $ não possui distribuição normal padrão. Após a transformação, $ Z $ continua seguindo uma distribuição uniforme com média 0 e variância 1, mantendo a forma da distribuição original.

Exercícios relacionados