Exercício 6.7. Um jogo funciona da seguinte maneira: uma moeda com probabilidade p=0,4=2 / 5 de cara é lançada repetidas vezes até que surja a primeira cara. Seja N o número de lançamentos realizados. Se for N=i com i in1,2,3 o jogador ganhar i reais, e se for N>3 o jogador perde 6 reais. Determine se o jogo é justo, vantajoso para o jogador ou vantajoso para a casa.

Passo 1

Beleza, vamos entender qual é a brincadeira aqui! Temos um jogo onde jogamos uma moeda que tem probabilidade p = 0,4 de dar cara. A gente lança essa moeda várias vezes até sair a primeira cara. O número de lançamentos que precisamos fazer é representado por N.
Se o número de lançamentos N for igual a 1, 2 ou 3, o jogador ganha i reais, onde i é o valor de N. Mas se der mais de 3 lançamentos, o jogador perde 6 reais. Nosso objetivo aqui é descobrir se esse jogo é justo (ou seja, se o jogador não ganha nem perde dinheiro a longo prazo), se é vantajoso para o jogador ou para a casa.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade e valor esperado. Precisamos calcular o valor esperado do ganho do jogador para ver qual é a vantagem desse jogo.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar na distribuição de probabilidade do número de lançamentos N. Como estamos procurando o número de tentativas até a primeira cara, isso segue uma distribuição geométrica.
A fórmula da distribuição geométrica é:
P(N = i) = (1 - p)^i-1 cdot p
Onde:
  • P(N = i) é a probabilidade de que o primeiro sucesso (cara) ocorra no i-ésimo lançamento.
  • p = 0,4 é a probabilidade de dar cara em cada lançamento.

Passo 3

Agora, vamos associar cada valor de N ao ganho do jogador:
  • Se N = 1, o jogador ganha 1 real.
  • Se N = 2, o jogador ganha 2 reais.
  • Se N = 3, o jogador ganha 3 reais.
  • Se N > 3, o jogador perde 6 reais.
Então, temos que calcular a probabilidade de cada um desses eventos acontecer e multiplicar pelo ganho correspondente.

Passo 4

O próximo passo é calcular o valor esperado ( E[X]) do ganho do jogador. O valor esperado nos dá uma ideia de quanto, em média, o jogador espera ganhar ou perder por jogo.
A fórmula para o valor esperado é:
E[X] = sumi=1^3 P(N = i) cdot Ganhoi + P(N > 3) cdot GanhoN>3
Onde:
  • Ganhoi é o ganho quando N = i.
  • GanhoN>3 é o ganho (nesse caso, perda) quando N > 3.

Passo 5

Vamos calcular cada termo da soma:
  1. Para N = 1:
    P(N = 1) = p = 0,4
    Ganho: 1 real.
  2. Para N = 2:
    P(N = 2) = (1 - p) cdot p = (1 - 0,4) cdot 0,4 = 0,6 cdot 0,4 = 0,24
    Ganho: 2 reais.
  3. Para N = 3:
    P(N = 3) = (1 - p)^2 cdot p = (0,6)^2 cdot 0,4 = 0,36 cdot 0,4 = 0,144
    Ganho: 3 reais.
  4. Para N > 3:
    P(N > 3) = (1 - p)^3 = (0,6)^3 = 0,216
    Ganho: -6 reais (perda).

Passo 6

Agora, substituímos esses valores na fórmula do valor esperado:
E[X] = (1 cdot 0,4) + (2 cdot 0,24) + (3 cdot 0,144) + (-6 cdot 0,216)
Vamos calcular cada parte:
  1. 1 cdot 0,4 = 0,4
  2. 2 cdot 0,24 = 0,48
  3. 3 cdot 0,144 = 0,432
  4. -6 cdot 0,216 = -1,296

Passo 7

Somando todos esses valores:
E[X] = 0,4 + 0,48 + 0,432 - 1,296 = (0,4 + 0,48 + 0,432) - 1,296 = 1,312 - 1,296 = 0,016

Resposta

O valor esperado do ganho é E[X] = 0,016 reais. Como o valor esperado é positivo, o jogo é vantajoso para o jogador, embora o ganho médio seja bem pequeno.

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