Exercício 6.7. Um jogo funciona da seguinte maneira: uma moeda com probabilidade
de cara é lançada repetidas vezes até que surja a primeira cara. Seja
o número de lançamentos realizados. Se for
com
o jogador ganhar i reais, e se for
o jogador perde 6 reais. Determine se o jogo é justo, vantajoso para o jogador ou vantajoso para a casa.
Passo 1
Beleza, vamos entender qual é a brincadeira aqui! Temos um jogo onde jogamos uma moeda que tem
de dar cara. A gente lança essa moeda várias vezes até sair a primeira cara. O número de lançamentos que precisamos fazer é representado por
.
Se o número de lançamentos
for igual a 1, 2 ou 3, o jogador ganha
reais, onde
é o valor de
. Mas se der mais de 3 lançamentos, o jogador perde 6 reais. Nosso objetivo aqui é descobrir se esse jogo é justo (ou seja, se o jogador não ganha nem perde dinheiro a longo prazo), se é vantajoso para o jogador ou para a casa.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade e valor esperado. Precisamos calcular o valor esperado do ganho do jogador para ver qual é a vantagem desse jogo.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar na distribuição de probabilidade do número de lançamentos
. Como estamos procurando o número de tentativas até a primeira cara, isso segue uma distribuição geométrica.
A fórmula da distribuição geométrica é:
Onde:
-
é a probabilidade de que o primeiro sucesso (cara) ocorra no -ésimo lançamento. -
é a probabilidade de dar cara em cada lançamento.
Passo 3
Agora, vamos associar cada valor de
ao ganho do jogador:
- Se
, o jogador ganha 1 real. - Se
, o jogador ganha 2 reais. - Se
, o jogador ganha 3 reais. - Se
, o jogador perde 6 reais.
Então, temos que calcular a probabilidade de cada um desses eventos acontecer e multiplicar pelo ganho correspondente.
Passo 4
O próximo passo é calcular o valor esperado (
) do ganho do jogador. O valor esperado nos dá uma ideia de quanto, em média, o jogador espera ganhar ou perder por jogo.
A fórmula para o valor esperado é:
Onde:
-
é o ganho quando . -
é o ganho (nesse caso, perda) quando .
Passo 5
Vamos calcular cada termo da soma:
-
Para
: Ganho: 1 real. -
Para
: Ganho: 2 reais. -
Para
: Ganho: 3 reais. -
Para
: Ganho: -6 reais (perda).
Passo 6
Agora, substituímos esses valores na fórmula do valor esperado:
Vamos calcular cada parte:
Passo 7
Somando todos esses valores:
Resposta
O valor esperado do ganho é
reais. Como o valor esperado é positivo, o jogo é vantajoso para o jogador, embora o ganho médio seja bem pequeno.