• Exercício 2: Um jogador de basquete tem 70 \% de chance de acertar um único lance livre. Defina a função de probabilidade P(X=x) para este evento.

Passo 1

O enunciado dá uma única informação e pede uma coisa clara. Informação dada:
  • A chance de um jogador acertar um único lance livre é de 70\%, isto é, p=0,7.
O que o enunciado pede:
  • Definir a função de probabilidade P(X=x) para esse evento (ou seja, modelar a distribuição de probabilidade do resultado de um único lance livre).

Passo 2

Escolher uma variável aleatória que descreva o experimento de forma simples. Uma escolha natural é definir X como um indicador de sucesso:
  • X=1 se o jogador acertar o lance livre;
  • X=0 se o jogador errar o lance livre.
Assim X só pode assumir os valores \{0,1\}. Esse tipo de variável é chamado de variável de Bernoulli (ou ensaio de Bernoulli).

Passo 3

Apresentar a fórmula geral da distribuição de Bernoulli e explicar por que ela funciona. Para uma variável de Bernoulli com parâmetro p (probabilidade de sucesso), a função de probabilidade é
P(X=x)=p^{x}(1-p)^{1-x},\qquad x\in\{0,1\}.
Explicação do porquê:
  • Se x=1 então a fórmula dá P(X=1)=p^{1}(1-p)^{0}=p, que é a probabilidade de sucesso.
  • Se x=0 então a fórmula dá P(X=0)=p^{0}(1-p)^{1}=1-p, que é a probabilidade de fracasso.
Essa fórmula é prática porque une os dois casos x=0 e x=1 numa única expressão simples.

Passo 4

Substituir o valor numérico p=0,7 na fórmula e obter as probabilidades explícitas. Usando a fórmula:
P(X=x)=(0,7)^{x}(0,3)^{1-x},\qquad x\in\{0,1\}.
Verificando os dois casos separadamente:
P(X=1)=(0,7)^{1}(0,3)^{0}=0,7,
P(X=0)=(0,7)^{0}(0,3)^{1}=0,3.
Checagem rápida: 0,7+0,3=1, ou seja, as probabilidades somam 1, como devem.

Passo 5

Interpretando e usando na prova (dicas práticas):
  • Sempre que tiver um único ensaio com dois resultados (sucesso/fracasso) e probabilidade conhecida de sucesso, modele com Bernoulli e use a fórmula do Passo 3.
  • Se aparecerem vários lances independentes (por exemplo n lances), a soma dos acertos segue uma distribuição binomial \mathrm{Binomial}(n,p); a probabilidade de exatamente k acertos é \displaystyle \binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}. Isso é só uma extensão natural do caso único.
  • Valores esperados úteis para um Bernoulli: o valor esperado é \displaystyle E[X]=p e a variância é \displaystyle \mathrm{Var}(X)=p(1-p). Aqui, com p=0,7,
E[X]=0,7,\qquad \mathrm{Var}(X)=0,7\cdot0,3=0,21.

Resposta

P(X=x)=(0,7)^{x}(0,3)^{1-x},\qquad x\in\{0,1\}
P(X=1)=0,7
P(X=0)=0,3

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