- Exercício 3: Se
, calcule o valor esperado
e o desvio padrão
.
Passo 1
O enunciado dá uma variável aleatória
com distribuição Bernoulli de parâmetro
. Ou seja:
-
só pode assumir os valores e . - A probabilidade de
(sucesso) é . - A probabilidade de
(falha) é .
O que o exercício pede:
- Calcular o valor esperado
. - Calcular o desvio padrão
de .
Passo 2
Definição e razão do valor esperado para Bernoulli.
A distribuição Bernoulli com parâmetro
tem massa de probabilidade
O valor esperado (média) de uma variável discreta é dado por somar cada valor vezes sua probabilidade:
Para Bernoulli isso vira explicitamente
Expliquei passo a passo: como os únicos valores possíveis são
e
, basta multiplicar cada um pela sua probabilidade e somar.
Passo 3
Cálculo de
substituindo
.
Da expressão anterior:
Portanto, para qualquer Bernoulli,
. Como no enunciado
, temos
Passo 4
Definição e derivação da variância para Bernoulli.
A variância é definida por
No caso Bernoulli, observe que
porque
e
. Logo
Substituindo em
obtemos
Expliquei cada passo: usamos a propriedade
que simplifica bastante a conta.
Passo 5
Cálculo numérico da variância com
.
Substituindo
na fórmula
:
Podemos também escrever
como fração simplificada:
Passo 6
Cálculo do desvio padrão
.
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
Podemos simplificar exatamente:
E uma aproximação numérica útil na prova:
(Dica rápida:
, dividindo por
dá aproximadamente
.)
Passo 7
Resumo e interpretação curta (pra te animar): a média
é a probabilidade de sucesso; a variância
e o desvio padrão
medem a dispersão em torno dessa média — como a variável só toma
e
, a dispersão é relativamente pequena.