• Exercício 3: Se X \sim \operatorname{Bernoulli}(0,4), calcule o valor esperado E[X] e o desvio padrão \sigma.

Passo 1

O enunciado dá uma variável aleatória X com distribuição Bernoulli de parâmetro 0,4. Ou seja:
  • X só pode assumir os valores 0 e 1.
  • A probabilidade de X=1 (sucesso) é p=0,4.
  • A probabilidade de X=0 (falha) é 1-p=0,6.
O que o exercício pede:
  • Calcular o valor esperado E[X].
  • Calcular o desvio padrão \sigma de X.

Passo 2

Definição e razão do valor esperado para Bernoulli.
A distribuição Bernoulli com parâmetro p tem massa de probabilidade
P(X=1)=p,\qquad P(X=0)=1-p.
O valor esperado (média) de uma variável discreta é dado por somar cada valor vezes sua probabilidade:
E[X]=\sum_x x\;P(X=x).
Para Bernoulli isso vira explicitamente
E[X]=0\cdot P(X=0)+1\cdot P(X=1).
Expliquei passo a passo: como os únicos valores possíveis são 0 e 1, basta multiplicar cada um pela sua probabilidade e somar.

Passo 3

Cálculo de E[X] substituindo P(X=1)=p.
Da expressão anterior:
E[X]=0\cdot(1-p)+1\cdot p = p.
Portanto, para qualquer Bernoulli, E[X]=p. Como no enunciado p=0,4, temos
E[X]=0,4.

Passo 4

Definição e derivação da variância para Bernoulli.
A variância é definida por
\operatorname{Var}(X)=E\big[(X-E[X])^2\big]=E[X^2]-(E[X])^2.
No caso Bernoulli, observe que X^2=X porque 0^2=0 e 1^2=1. Logo
E[X^2]=E[X]=p.
Substituindo em \operatorname{Var}(X)=E[X^2]-(E[X])^2 obtemos
\operatorname{Var}(X)=p-p^2=p(1-p).
Expliquei cada passo: usamos a propriedade X^2=X que simplifica bastante a conta.

Passo 5

Cálculo numérico da variância com p=0,4.
Substituindo p=0,4 na fórmula \operatorname{Var}(X)=p(1-p):
\operatorname{Var}(X)=0,4\cdot(1-0,4)=0,4\cdot0,6=0,24.
Podemos também escrever 0,24 como fração simplificada:
0,24=\frac{24}{100}=\frac{6}{25}.

Passo 6

Cálculo do desvio padrão \sigma.
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
\sigma=\sqrt{\operatorname{Var}(X)}=\sqrt{0,24}.
Podemos simplificar exatamente:
\sqrt{0,24}=\sqrt{\frac{6}{25}}=\frac{\sqrt{6}}{5}.
E uma aproximação numérica útil na prova:
\sigma=\frac{\sqrt{6}}{5}\approx0,4899.
(Dica rápida: \sqrt{6}\approx2,449, dividindo por 5 dá aproximadamente 0,4899.)

Passo 7

Resumo e interpretação curta (pra te animar): a média 0,4 é a probabilidade de sucesso; a variância 0,24 e o desvio padrão \approx0,49 medem a dispersão em torno dessa média — como a variável só toma 0 e 1, a dispersão é relativamente pequena.

Resposta

E[X]=0,4
\sigma=\dfrac{\sqrt{6}}{5}\approx0,4899

Exercícios relacionados