• Exercício 4: Em um lançamento de uma moeda honesta, onde “Cara” é sucesso (1) e “Coroa” é fracasso (0), qual a probabilidade de X=1 ?

Passo 1

O enunciado e as informações que temos:
  • Foi feito um lançamento de uma moeda honesta (ou seja, uma moeda justa).
  • Foi definido que “Cara” corresponde a sucesso, que vamos codificar como 1, e “Coroa” corresponde a fracasso, que vamos codificar como 0.
  • A variável aleatória X assume esses valores conforme o resultado do lançamento: X=1 se sair Cara e X=0 se sair Coroa.
    O que o problema pergunta:
  • Qual é a probabilidade de ocorrer o evento X=1?

Passo 2

Entender o espaço amostral e a noção de probabilidade para casos de resultados igualmente prováveis.
  • O espaço amostral (conjunto de todos os resultados possíveis) do lançamento da moeda é \{\text{Cara},\text{Coroa}\}.
  • Como a moeda é honesta, os dois resultados são igualmente prováveis. Para eventos com resultados igualmente prováveis, a probabilidade de um evento é
\text{Probabilidade} = \frac{\text{número de resultados favoráveis}}{\text{número total de resultados}}.úáú
Expliquei essa fórmula porque é a regra básica que vamos usar: contar resultados favoráveis dividido pelo total quando os resultados têm a mesma chance.

Passo 3

Identificar o evento cujo valor queremos calcular.
  • O evento X=1 corresponde exatamente ao resultado “Cara”.
  • Portanto, o número de resultados favoráveis ao evento X=1 é 1 (apenas “Cara”).
  • O número total de resultados possíveis é 2 (“Cara” e “Coroa”).

Passo 4

Aplicar a fórmula de probabilidade para resultados igualmente prováveis.
  • Substituindo os valores:
P(X=1)=\frac{1}{2}.
  • Em palavras: de duas possibilidades igualmente prováveis, uma delas é sucesso (Cara), então a probabilidade é metade.

Passo 5

Interpretação alternativa (modelo Bernoulli), para fixar conceito.
  • A variável X é um exemplo de variável aleatória Bernoulli com parâmetro p, onde p é a probabilidade de sucesso:
X \sim \text{Bernoulli}(p),
significando que P(X=1)=p e P(X=0)=1-p.
  • No caso de moeda honesta, o parâmetro é p=\tfrac{1}{2}, logo P(X=1)=\tfrac{1}{2}.
  • Isso é útil porque em provas é comum identificar rapidamente um experimento Bernoulli e lembrar que basta conhecer p.

Passo 6

Resumo final curto e incentivo.
  • Resultado obtido: P(X=1)=\tfrac{1}{2}.
  • Dica: se a moeda fosse viciada, bastaria substituir p pela probabilidade dada de sair Cara e repetir o mesmo raciocínio.

Resposta

\dfrac{1}{2}

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