Exercício 1. Justifique as afirmações abaixo.
Para
fixado, considere a função
dada por
. Prove que
é diferenciável e satisfaz, para todo
,
Para
Passo 1
O enunciado define a aplicação
por
com
fixado. Queremos mostrar que
é diferenciável em todo
, que sua diferencial satisfaz
e que seu gradiente é
.
Passo 2
Recordando a definição,
é diferenciável em
se existe um mapa linear
tal que, para
,
Nesse caso dizemos
. Além disso, em coordenadas a matriz jacobiana de
em
é uma linha cujas entradas são as derivadas parciais
, e o vetor gradiente
é a transposta dessa linha.
Passo 3
Calculemos a diferença incremental:
Não há resto além de
, logo podemos tomar
Como
é exatamente uma forma linear em
, o termo de erro é zero (que é
), e assim
é diferenciável em todo
com
Passo 4
Em coordenadas,
significa que a matriz jacobiana de
é a linha
. Portanto
O gradiente
é a transposta dessa linha, logo