Exercício 1. Justifique as afirmações abaixo.
Para y in R^d fixado, considere a função v: R^d longrightarrow R dada por v(x)=x cdot y. Prove que v é diferenciável e satisfaz, para todo x in R^d,
d v(x)=y^t e nabla v(x)=y

Passo 1

O enunciado define a aplicação v:R^dtoR por
v(x)=xcdot y
com yinR^d fixado. Queremos mostrar que v é diferenciável em todo xinR^d, que sua diferencial satisfaz dv(x)=y^t e que seu gradiente é nabla v(x)=y.

Passo 2

Recordando a definição, v é diferenciável em x se existe um mapa linear L:R^dtoR tal que, para hto0,
v(x+h)-v(x)-L(h)=o(|h|)
Nesse caso dizemos dv(x)=L. Além disso, em coordenadas a matriz jacobiana de v em x é uma linha cujas entradas são as derivadas parciais partial vpartial xi(x), e o vetor gradiente nabla v(x) é a transposta dessa linha.

Passo 3

Calculemos a diferença incremental:
v(x+h)-v(x)=(x+h)cdot y - xcdot y = hcdot y
Não há resto além de hcdot y, logo podemos tomar
L(h)=hcdot y
Como hcdot y é exatamente uma forma linear em h, o termo de erro é zero (que é o(|h|)), e assim v é diferenciável em todo x com
dv(x)(h)=hcdot y

Passo 4

Em coordenadas, hcdot y=sumi=1^d yi,hi significa que a matriz jacobiana de v é a linha (y1,y2,dots,yd). Portanto
dv(x)=y^t
O gradiente nabla v(x) é a transposta dessa linha, logo
boxednabla v(x)=y

Resposta

v é diferenciável em todo R^d com
dv(x)=y^t e nabla v(x)=y

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