Considere a curva -y+senh x=-cosh x no plano x O y.
(a) A curva pode ser reescrita como y=e^x ? Justifique, se for verdadeiro, e apresente contraexemplo, se for falso.
[0,5]
Verdadeiro, pela definição de cosh x e de senh x :
-y+senh x=-cosh x & Leftrightarrow y=senh x+cosh x & Leftrightarrow y=e^x-e^-x2+e^x+e^-x2 & Leftrightarrow y=e^x
(b) Prove que existe um ponto (x, y) da curva acima que está mais próximo do ponto (0,0).
[0,5]
Queremos provar que existe um ponto (x, y) que minimiza a distância entre (x, y) e (0,0) dada por
raiz(x-0)^2+(y-0)^2=raizx^2+y^2
onde (x, y) está sujeito a y=e^x (por (a) ).
Assim, queremos o mínimo global de d(x)=raizx^2+e^2 x, x in R.
Lembre que : x minimiza a distância d(x) se e somente se x minimiza f(x)=d^2(x)=x^2+e^2 x.
Temos f^prime(x)=2 x+2 e^2 x. Como f^prime(0)=2>0 e f^prime(-1)=-2+2e<0 e f^prime é contínua em [-1,0], o Teorema do Valor Intermediário garante que existe c in(-1,0) tal que f^prime(c)=0. Por outro lado, f^prime prime(x)=2+4 e^2 x>0 para todo x in R, donde f^prime é estritamente crescente para todo x, c é o único zero de f^prime e temos f^prime(x)<0 para todo x<c, f^prime(x)>0 para todo x>c. Assim, f(c) é mínimo global de f (Teste da Primeira Derivada para Valores Extremos Absolutos).
Conclusão: o ponto ( c, e^c ) é o ponto da curva mais próximo de ( 0,0 ).

Passo 1

O enunciado trata de uma curva definida por
-y + sinh x = -cosh x
no plano (x,y). No item (a) precisamos verificar se essa curva equivale a y=e^x usando as definições de sinh x e cosh x. No item (b) queremos mostrar que existe um ponto dessa curva mais próximo de (0,0), isto é, minimizar a distância raizx^2+y^2 sujeita à relação da curva.

Passo 2

Para (a), aplicamos as definições
sinh x = e^x-e^-x2, cosh x = e^x+e^-x2
Substituindo em
-y + sinh x = -cosh x
temos
-y + e^x-e^-x2 = -e^x+e^-x2 Longrightarrow y = e^x-e^-x2 + e^x+e^-x2 = e^x
Logo a curva é exatamente y=e^x, sem exceção.

Passo 3

Para (b), restringimos a distância ao longo de y=e^x. Seja
d(x)=raizx^2+e^2x
Como minimizar d(x) é equivalente a minimizar
f(x)=d(x)^2=x^2+e^2x,
calculamos
f'(x)=2x + 2e^2x, f''(x)=2 + 4e^2x>0 forall xinR
A convexidade f''(x)>0 garante único mínimo global. Note que
f'(-1)= -2 + 2e^-2<0, f'(0)=2>0,
e como f' é contínua, o Teorema do Valor Intermediário fornece cin(-1,0) tal que f'(c)=0. Esse c é o único ponto crítico e, por convexidade, é o mínimo global.

Resposta

(a) Verdadeiro, pois usando sinh x e cosh x chega-se a y=e^x.
(b) Existe exatamente um cin(-1,0) com f'(c)=0, e o ponto da curva mais próximo de (0,0) é l(c,e^cr).

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