Considere a curva
no plano
.
(a) A curva pode ser reescrita como
? Justifique, se for verdadeiro, e apresente contraexemplo, se for falso.
[0,5]
Verdadeiro, pela definição de
e de senh
:
(b) Prove que existe um ponto
da curva acima que está mais próximo do ponto
.
[0,5]
Queremos provar que existe um ponto
que minimiza a distância entre
e
dada por
onde
está sujeito a
(por
).
Assim, queremos o mínimo global de
.
Lembre que :
minimiza a distância
se e somente se
minimiza
.
Temos
. Como
e
e
é contínua em
, o Teorema do Valor Intermediário garante que existe
tal que
. Por outro lado,
para todo
, donde
é estritamente crescente para todo
é o único zero de
e temos
para todo
para todo
. Assim,
é mínimo global de
(Teste da Primeira Derivada para Valores Extremos Absolutos).
Conclusão: o ponto (
) é o ponto da curva mais próximo de ( 0,0 ).
(a) A curva pode ser reescrita como
[0,5]
Verdadeiro, pela definição de
[0,5]
Queremos provar que existe um ponto
Assim, queremos o mínimo global de
Lembre que :
Temos
Conclusão: o ponto (
Passo 1
O enunciado trata de uma curva definida por
no plano
. No item (a) precisamos verificar se essa curva equivale a
usando as definições de
e
. No item (b) queremos mostrar que existe um ponto dessa curva mais próximo de
, isto é, minimizar a distância
sujeita à relação da curva.
Passo 2
Para (a), aplicamos as definições
Substituindo em
temos
Logo a curva é exatamente
, sem exceção.
Passo 3
Para (b), restringimos a distância ao longo de
. Seja
Como minimizar
é equivalente a minimizar
calculamos
A convexidade
garante único mínimo global. Note que
e como
é contínua, o Teorema do Valor Intermediário fornece
tal que
. Esse
é o único ponto crítico e, por convexidade, é o mínimo global.
Resposta
(a) Verdadeiro, pois usando
e
chega-se a
.
(b) Existe exatamente um com
, e o ponto da curva mais próximo de
é
.
(b) Existe exatamente um