Exercício 4.8 Uma lâmpada é colocada em um poste que está a 5 m de altura. Se um homem de 2 m de altura caminha afastando-se da lâmpada a uma velocidade constante de 5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, com que velocidade se alonga sua sombra?

Passo 1

O enunciado diz que há um poste com lâmpada a 5 m do chão e um homem de 2 m de altura que se afasta do poste com velocidade constante de 5 m/s. Precisamos achar a velocidade com que o comprimento y da sombra dele aumenta. O conteúdo aqui é taxas relacionadas usando semelhança de triângulos.

Passo 2

Seja x(t) a distância do homem à base do poste e y(t) o comprimento de sua sombra. Pelos triângulos semelhantes, temos:
\frac{5}{x+y} \;=\;\frac{2}{y}.

Passo 3

Multiplicando em cruz e rearranjando,
5y = 2(x + y) \;\Longrightarrow\; 5y = 2x + 2y \;\Longrightarrow\; 3y = 2x \;\Longrightarrow\; y = \frac{2}{3}\,x.

Passo 4

Derivando ambos os lados em relação ao tempo t,
\frac{dy}{dt} = \frac{2}{3}\,\frac{dx}{dt}.

Passo 5

Como o homem se afasta a \frac{dx}{dt}=5 m/s, substituímos:
\frac{dy}{dt} = \frac{2}{3}\times 5 = \frac{10}{3}\;\mathrm{m/s}.

Resposta

A sombra do homem cresce à razão de \displaystyle \frac{10}{3} m/s.

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