Exercício 4.6 Um projétil é disparado para cima, a partir do solo, em linha reta, com velocidade inicial de 39,8
. Neste caso, desprezando-se a resistência do ar, a altura do projétil em relação ao solo é dada pela função
metros, sendo
o tempo de trajeto do projétil em segundos. Calcule:
(i) o tempo necessário para que o projétil retorne ao solo.
(ii) o instante em que o projétil atinge a altura máxima.
(iii) a altura máxima que o projétil atinge.
(iv) a velocidade instantânea com que o projétil atinge o solo em seu retorno.
(v) a aceleração instantânea do projétil.
Além disso, explique o que significa, neste exercício, a situação em que a velocidade instantânea é positiva e a situação em que a velocidade instantânea é negativa. O mesmo para a aceleração instantânea.
(i) o tempo necessário para que o projétil retorne ao solo.
(ii) o instante em que o projétil atinge a altura máxima.
(iii) a altura máxima que o projétil atinge.
(iv) a velocidade instantânea com que o projétil atinge o solo em seu retorno.
(v) a aceleração instantânea do projétil.
Passo 1
O enunciado dá a altura do projétil em função do tempo como
sendo
em segundos. Vamos usar cálculo diferencial para obter a velocidade instantânea
e a aceleração
, depois achar os instantes e valores pedidos e, por fim, interpretar o sinal de
e de
.
Passo 2
Derivando
em relação a
, obtemos a velocidade instantânea:
Derivando de novo, chegamos à aceleração instantânea:
Isso mostra que a aceleração é constante (gravidade), igual a
,m/
.
Passo 3
(i) Para o projétil retornar ao solo, precisamos de
. Resolvendo
temos as soluções
(lançamento) e
(tempo de retorno).
Passo 4
(ii) O instante de altura máxima ocorre quando a velocidade se anula:
Passo 5
(iii) A altura máxima é
. Calculando
Passo 6
(iv) A velocidade ao retornar
é
Passo 7
(v) Já vimos que a aceleração é constante
Como
é sempre negativa, a força da gravidade puxa o projétil para baixo.
Passo 8
Interpretação dos sinais:
-
Velocidade instantânea
: -
Se
, o projétil está subindo (altura aumenta). -
Se
, o projétil está descendo (altura diminui). -
Aceleração instantânea
: -
Se
, a aceleração seria para cima (aumentaria a componente positiva da velocidade). -
Se
, a aceleração é para baixo (é o caso real: a gravidade desacelera a subida e acelera a descida).
Resposta
(i)
s
(ii) s
(iii) m
(iv) m/s
(v) m/
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
Velocidade positiva: subida. Velocidade negativa: descida.
Aceleração positiva: força para cima (não ocorre aqui). Aceleração negativa: força da gravidade para baixo.
Aceleração positiva: força para cima (não ocorre aqui). Aceleração negativa: força da gravidade para baixo.