Exercício 4.6 Um projétil é disparado para cima, a partir do solo, em linha reta, com velocidade inicial de 39,8 \mathrm{m} / \mathrm{s}. Neste caso, desprezando-se a resistência do ar, a altura do projétil em relação ao solo é dada pela função s(t)=39,2 t-4,9 t^{2} metros, sendo t o tempo de trajeto do projétil em segundos. Calcule:
(i) o tempo necessário para que o projétil retorne ao solo.
(ii) o instante em que o projétil atinge a altura máxima.
(iii) a altura máxima que o projétil atinge.
(iv) a velocidade instantânea com que o projétil atinge o solo em seu retorno.
(v) a aceleração instantânea do projétil.
Além disso, explique o que significa, neste exercício, a situação em que a velocidade instantânea é positiva e a situação em que a velocidade instantânea é negativa. O mesmo para a aceleração instantânea.

Passo 1

O enunciado dá a altura do projétil em função do tempo como
s(t) = 39,2\,t \;-\; 4,9\,t^2,
sendo t em segundos. Vamos usar cálculo diferencial para obter a velocidade instantânea v(t) e a aceleração a(t), depois achar os instantes e valores pedidos e, por fim, interpretar o sinal de v(t) e de a(t).

Passo 2

Derivando s(t) em relação a t, obtemos a velocidade instantânea:
v(t) = s'(t) = 39,2 \;-\; 9,8\,t.
Derivando de novo, chegamos à aceleração instantânea:
a(t) = v'(t) = -9,8.
Isso mostra que a aceleração é constante (gravidade), igual a -9,8,m/ s^{2}.

Passo 3

(i) Para o projétil retornar ao solo, precisamos de s(t)=0. Resolvendo
39,2\,t - 4,9\,t^2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad t\,(39,2 - 4,9\,t) = 0
temos as soluções t=0 (lançamento) e
t = \frac{39,2}{4,9} = 8\text{ s}
(tempo de retorno).

Passo 4

(ii) O instante de altura máxima ocorre quando a velocidade se anula:
v(t)=39,2 - 9,8\,t = 0 \quad\Longrightarrow\quad t = \frac{39,2}{9,8} = 4\text{ s}.

Passo 5

(iii) A altura máxima é s(4). Calculando
s(4) = 39,2\cdot 4 \;-\; 4,9\cdot 4^2 =156,8 - 78,4 = 78,4\text{ m}.

Passo 6

(iv) A velocidade ao retornar t=8 é
v(8) = 39,2 - 9,8\cdot 8 = 39,2 - 78,4 = -39,2\text{ m/s}.

Passo 7

(v) Já vimos que a aceleração é constante
a(t) = -9,8\text{ m/s}^2.
Como a(t) é sempre negativa, a força da gravidade puxa o projétil para baixo.

Passo 8

Interpretação dos sinais:
  • Velocidade instantânea v(t):
  • Se v(t)>0, o projétil está subindo (altura aumenta).
  • Se v(t)<0, o projétil está descendo (altura diminui).
  • Aceleração instantânea a(t):
  • Se a(t)>0, a aceleração seria para cima (aumentaria a componente positiva da velocidade).
  • Se a(t)<0, a aceleração é para baixo (é o caso real: a gravidade desacelera a subida e acelera a descida).

Resposta

(i) 8 s
(ii) 4 s
(iii) 78,4 m
(iv) -39,2 m/s
(v) -9,8 m/ s^{2}
Velocidade positiva: subida. Velocidade negativa: descida.
Aceleração positiva: força para cima (não ocorre aqui). Aceleração negativa: força da gravidade para baixo.

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