Exercício 4.9 Um homem puxa uma corda a uma velocidade constante de 5 \mathrm{~m} / \mathrm{min}. Suponha que este homem esteja à beira de uma represa e que a corda esteja presa a uma jangada. Se as mãos do homem estão a 1,6 \mathrm{~m} de altura em relação ao nível da água, qual será a velocidade da jangada quando restar apenas 2 m de corda para puxar?
Resposta: \frac{25}{3} \mathrm{~m} / \mathrm{min}.

Passo 1

O enunciado diz que um homem puxa uma corda a 5 m/min, a corda liga suas mãos (a 1,6 m acima da água) a uma jangada. Queremos a velocidade da jangada quando restam 2 m de corda. O conteúdo é taxas relacionadas em um triângulo retângulo variando no tempo.

Passo 2

Definimos x(t) = distância horizontal da jangada ao ponto exatamente abaixo das mãos do homem, y = 1,6 m = altura fixa das mãos, s(t) = comprimento da corda.

Passo 3

Pelo triângulo retângulo vale
s^2 = x^2 + y^2.

Passo 4

Derivando em relação ao tempo t:
2s\,\frac{ds}{dt} \;=\; 2x\,\frac{dx}{dt},
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\frac{dx}{dt} \;=\;\frac{s}{x}\,\frac{ds}{dt}.

Passo 5

Quando s=2 m e y=1,6 m,
x = \sqrt{s^2 - y^2} = \sqrt{2^2 - 1,6^2} = \sqrt{4 - 2,56} = 1,2\text{ m}.
Como o homem reduz s a 5 m/min, temos \tfrac{ds}{dt}=-5 m/min.

Passo 6

Substituindo em \displaystyle \frac{dx}{dt}=\frac{s}{x}\frac{ds}{dt}:
\frac{dx}{dt} = \frac{2}{1,2}\times(-5) = -\frac{10}{1,2} = -\frac{25}{3}\\ \mathrm{m/min}.
O sinal negativo indica que x diminui (jangada se aproxima).

Resposta

A velocidade da jangada é \tfrac{25}{3} m/min.

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