• Exercício 3: Se a ocorrência de acidentes em um cruzamento segue uma distribuição de Poisson com \lambda=2 por semana, qual a probabilidade de ocorrer 1 acidente em uma semana?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa simples:
  • Taxa média de acidentes por semana: \lambda=2.
  • Pergunta: qual a probabilidade de ocorrer exatamente 1 acidente em uma semana?

Passo 2

Introdução do modelo que vamos usar (explicação didática, sem pular etapas).
  • Quando queremos modelar o número de ocorrências de um evento discreto (como acidentes) em um intervalo fixo de tempo, e essas ocorrências são independentes e ocorrem com taxa média conhecida, um modelo apropriado é a distribuição de Poisson.
  • A fórmula da função massa de probabilidade (pmf) da distribuição de Poisson é:
P(X=k)=\frac{e^{-\lambda}\,\lambda^{k}}{k!},
onde:
  • X é a variável aleatória que conta o número de ocorrências no intervalo;
  • \lambda é a taxa média (esperança) de ocorrências no mesmo intervalo (aqui \lambda=2);
  • k é o número de ocorrências que queremos a probabilidade (aqui k=1);
  • k! é o fatorial de k, ou seja, k!=k\cdot(k-1)\cdots1 (por convenção 0!=1);
  • e é a base dos logaritmos naturais, aproximadamente 2,71828.
  • Intuição rápida: e^{-\lambda} decresce quando a média \lambda aumenta; o termo \lambda^k/k! ajusta para a probabilidade de exatamente k eventos.

Passo 3

Aplicar a fórmula ao caso concreto ( k=1 e \lambda=2). Substituindo na expressão:
P(X=1)=\frac{e^{-2}\,2^{1}}{1!}.

Passo 4

Simplificar os elementos fáceis da expressão.
  • Calcular 2^{1}=2.
  • Calcular 1!=1.
    Portanto:
P(X=1)=\frac{e^{-2}\cdot 2}{1}=2e^{-2}.

Passo 5

Calcular uma aproximação numérica (passo a passo, sem usar calculadora como no exame — aqui mostra-se o raciocínio).
  • Conhecendo e\approx2{,}71828, então e^{2}\approx 2{,}71828^{2}\approx7{,}389.
  • Logo e^{-2}=1/e^{2}\approx 1/7{,}389\approx0{,}135335.
  • Multiplicando por 2: 2e^{-2}\approx 2\cdot0{,}135335\approx0{,}270670.
    Arredondando para quatro casas decimais: 0{,}2707.

Passo 6

Interpretação final e checagem rápida:
  • A probabilidade de exatamente um acidente numa semana, quando a média é 2 acidentes por semana, é cerca de 27{,}07\%.
  • Faz sentido: com expectativa 2, o caso 1 tem probabilidade menor que o caso 2 (que seria \dfrac{e^{-2}2^{2}}{2!}= \dfrac{4e^{-2}}{2}=2e^{-2}, igual neste caso específico por coincidência; para outros \lambda isso varia), mas o importante é que o resultado está na faixa esperada para uma média de 2.

Resposta

2e^{-2}\approx0{,}2707

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