- Exercício 3: Se a ocorrência de acidentes em um cruzamento segue uma distribuição de Poisson com
por semana, qual a probabilidade de ocorrer 1 acidente em uma semana?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa simples:
- Taxa média de acidentes por semana:
. - Pergunta: qual a probabilidade de ocorrer exatamente
acidente em uma semana?
Passo 2
Introdução do modelo que vamos usar (explicação didática, sem pular etapas).
- Quando queremos modelar o número de ocorrências de um evento discreto (como acidentes) em um intervalo fixo de tempo, e essas ocorrências são independentes e ocorrem com taxa média conhecida, um modelo apropriado é a distribuição de Poisson.
- A fórmula da função massa de probabilidade (pmf) da distribuição de Poisson é:
onde:
-
é a variável aleatória que conta o número de ocorrências no intervalo; -
é a taxa média (esperança) de ocorrências no mesmo intervalo (aqui ); -
é o número de ocorrências que queremos a probabilidade (aqui ); -
é o fatorial de , ou seja, (por convenção ); -
é a base dos logaritmos naturais, aproximadamente . - Intuição rápida:
decresce quando a média aumenta; o termo ajusta para a probabilidade de exatamente eventos.
Passo 3
Aplicar a fórmula ao caso concreto (
e
). Substituindo na expressão:
Passo 4
Simplificar os elementos fáceis da expressão.
- Calcular
. - Calcular
.
Portanto:
Passo 5
Calcular uma aproximação numérica (passo a passo, sem usar calculadora como no exame — aqui mostra-se o raciocínio).
- Conhecendo
, então . - Logo
. - Multiplicando por
: .
Arredondando para quatro casas decimais:.
Passo 6
Interpretação final e checagem rápida:
- A probabilidade de exatamente um acidente numa semana, quando a média é
acidentes por semana, é cerca de . - Faz sentido: com expectativa
, o caso tem probabilidade menor que o caso (que seria , igual neste caso específico por coincidência; para outros isso varia), mas o importante é que o resultado está na faixa esperada para uma média de .