Exercício 9. A Lei de Gauss para o Campo Magnético e o conceito de fluxo.
a) Explique o que significa o fato de \nabla \cdot \mathbf{B}=0 na forma diferencial da Lei de Gauss para o Campo Magnético.
b) Por que não é possível isolar o polo norte ou sul de um ímã, ao contrário das
cargas elétricas positivas e negativas?
c) Um campo magnético em uma região é dado por \mathbf{B}=\left(x y \mathbf{a}_{ \mathbf{x}}+y z \mathbf{a}_{ \mathbf{y}}+x z \mathbf{a}_{ \mathbf{z}}\right) \mathrm{T}. Calcule a divergência de B.
d) Se um campo magnético está em uma região onde não há correntes, e a densidade de fluxo magnético é constante e uniforme, qual a sua divergência?

Passo 1

O enunciado pede para entender e aplicar \nabla\cdot\mathbf{B}=0 (forma diferencial da Lei de Gauss para o campo magnético), discutir por que não existem polos magnéticos isolados, calcular a divergência de um campo \mathbf{B}(x,y,z) dado e verificar o caso de campo uniforme sem correntes. Para isso, usaremos conceitos de divergência de um campo vetorial e interpretação física de linhas de campo.

Passo 2

a) A forma diferencial
\nabla\cdot\mathbf{B}=0
significa que, em cada ponto do espaço, o fluxo magnético que entra é igual ao fluxo que sai de um pequeno volume. Em outras palavras, não há “fontes” nem “sumidouros” de campo magnético: as linhas de \mathbf{B} são sempre fechadas.

Passo 3

b) Se não existem fontes nem sumidouros (isto é, \nabla\cdot\mathbf{B}=0 em todo lugar), não se pode ter um polo norte isolado sem o polo sul ou vice-versa. Mesmo ao cortar um ímã, cada pedaço continua com ambos os polos, pois a divergência de \mathbf{B} permanece nula.

Passo 4

c) Dado
\mathbf{B}=x\,y\,\mathbf{a}_x \;+\;y\,z\,\mathbf{a}_y\;+\;x\,z\,\mathbf{a}_z,
calculamos
\nabla\cdot\mathbf{B} =\frac{\partial(xy)}{\partial x} +\frac{\partial(yz)}{\partial y} +\frac{\partial(xz)}{\partial z} =y+z+x.

Passo 5

d) Se \mathbf{B} é constante e uniforme, todos os seus componentes são independentes de x,y,z. Logo, cada derivada parcial é zero e
\nabla\cdot\mathbf{B}=0.

Resposta

a) \nabla\cdot\mathbf{B}=0 indica ausência de polos magnéticos isolados; as linhas de campo são fechadas.
b) Porque não existem monopolos magnéticos isolados; um ímã sempre tem polos norte e sul pareados.
c) \nabla\cdot\mathbf{B}=x+y+z.
d) \nabla\cdot\mathbf{B}=0.

Exercícios relacionados