Exercício 6. As leis de De Morgan dizem que para quaisquer conjuntos A, B vale que
(i) (A \cap B)^{c}=A^{c} \cup B^{c}
(ii) (A \cup B)^{c}=A^{c} \cap B^{c}
Considerando \mathbb{U}={n \in \mathbb{Z}:-10 \leq n \leq 10} como conjunto universo, verifique as leis de De Morgan para os seguintes conjuntos.
A=\{n \in \mathbb{U}: 3 \mid n\} e B=\{4 n: n \in\{-2,-1,0,1,2\}\}

Passo 1

O que o exercício pede: verificar as leis de De Morgan
(i) (A\cap B)^{c}=A^{c}\cup B^{c} e
(ii) (A\cup B)^{c}=A^{c}\cap B^{c}
para os conjuntos dados.
Informações fornecidas (tudo que vamos usar):
\mathbb{U}=\{n\in\mathbb{Z}:-10\le n\le 10\}
A=\{n\in\mathbb{U}:3\mid n\}
B=\{4n:n\in\{-2,-1,0,1,2\}\}
Observação importante (usada em toda a verificação): quando se fala em complemento X^{c} aqui, é sempre o complemento relativo ao conjunto universo \mathbb{U}; ou seja X^{c}=\mathbb{U}\setminus X.

Passo 2

Escrevo explicitamente o conjunto universo \mathbb{U}, para não errar ao listar complementos:
\mathbb{U}=\{-10,-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}.

Passo 3

Calculo A. Por definição A são os inteiros em \mathbb{U} divisíveis por 3. Os múltiplos de 3 entre -10 e 10 são:
A=\{-9,-6,-3,0,3,6,9\}.
Explicando como encontrei: começando em -10 e indo até 10, os números que deixam resto zero na divisão por 3 são os mostrados acima.

Passo 4

Calculo B. Foi dado B=\{4n:n\in\{-2,-1,0,1,2\}\}. Substituo os valores de n:
B=\{-8,-4,0,4,8\}.
(Observe que estou usando exatamente os elementos fornecidos pelo enunciado.)

Passo 5

Calculo A\cap B, a interseção: elementos que estão simultaneamente em A e em B.
Comparando as listas
A=\{-9,-6,-3,0,3,6,9\},\qquad B=\{-8,-4,0,4,8\},
o único elemento em comum é 0. Logo
A\cap B=\{0\}.
Raciocínio adicional (útil na prova): um número que seja múltiplo de 3 e de 4 ao mesmo tempo é múltiplo de 12; entre -10 e 10 o único múltiplo de 12 é 0.

Passo 6

Calculo o complemento (A\cap B)^{c}. Como A\cap B=\{0\},
(A\cap B)^{c}=\mathbb{U}\setminus\{0\}=\{-10,-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}.
Explicando: complemento significa “tudo em \mathbb{U} que não está em \{0\}” — ou seja, todos os elementos de \mathbb{U} exceto 0.

Passo 7

Calculo os complementos A^{c} e B^{c} separadamente.
Primeiro A^{c}=\mathbb{U}\setminus A. Removo de \mathbb{U} os múltiplos de 3:
A^{c}=\{-10,-8,-7,-5,-4,-2,-1,1,2,4,5,7,8,10\}.
(Deixei fora -9,-6,-3,0,3,6,9 que são os elementos de A.)
Depois B^{c}=\mathbb{U}\setminus B. Removo de \mathbb{U} os elementos de B:
B^{c}=\{-10,-9,-7,-6,-5,-3,-2,-1,1,2,3,5,6,7,9,10\}.
(Deixei fora -8,-4,0,4,8 que são os elementos de B.)

Passo 8

Calculo A^{c}\cup B^{c}. A união contém todo elemento que pertence a A^{c} ou a B^{c} (ou a ambos). Observação prática: o único elemento de \mathbb{U} que não aparece em nenhum dos complementos é um elemento que estaria simultaneamente em A e em B. Vimos no Passo 5 que A\cap B=\{0\}. Então 0 não pertence nem a A^{c} nem a B^{c}, enquanto qualquer outro x\in\mathbb{U} com x\ne 0 não pode estar em ambos A e B ao mesmo tempo (pois a interseção é só \{0\}); portanto todo x\ne 0 pertence a pelo menos um dos complementos. Conclusão:
A^{c}\cup B^{c}=\mathbb{U}\setminus\{0\}=\{-10,-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}.

Passo 9

Comparando os resultados do Passo 6 e do Passo 8 vemos que
(A\cap B)^{c}=A^{c}\cup B^{c}
porque ambos são iguais a \mathbb{U}\setminus\{0\}. Assim a lei (i) está verificada para estes conjuntos.

Passo 10

Agora verifico a segunda lei. Primeiro calcule A\cup B: união dos elementos de A e de B. Juntando as listas
A=\{-9,-6,-3,0,3,6,9\},\qquad B=\{-8,-4,0,4,8\},
obtenho (ordenando em ordem crescente)
A\cup B=\{-9,-8,-6,-4,-3,0,3,4,6,8,9\}.

Passo 11

Calculo o complemento (A\cup B)^{c}=\mathbb{U}\setminus(A\cup B). Removendo os elementos da união da lista de \mathbb{U} resultam os elementos que NÃO aparecem em A\cup B:
(A\cup B)^{c}=\{-10,-7,-5,-2,-1,1,2,5,7,10\}.
Verificação rápida: \mathbb{U} tinha 21 elementos; A\cup B tem 11 elementos, então o complemento tem 10 elementos — bate com a lista acima.

Passo 12

Calculo A^{c}\cap B^{c}. Um elemento está em A^{c}\cap B^{c} se e somente se NÃO está em A e também NÃO está em B. Ou seja, são exatamente os elementos que não pertencem nem a A nem a B, isto é, \mathbb{U}\setminus(A\cup B). Portanto
A^{c}\cap B^{c}=\{-10,-7,-5,-2,-1,1,2,5,7,10\}.
Posso também verificar elemento a elemento: por exemplo -10 não é múltiplo de 3 e não está em B, logo pertence à interseção; para 5, idem; e para 0 não — porque 0 pertence tanto a A quanto a B, então 0\notin A^{c}\cap B^{c}. A lista coincide com (A\cup B)^{c} acima.

Passo 13

Como (A\cup B)^{c} e A^{c}\cap B^{c} coincidem (ambos iguais a \{-10,-7,-5,-2,-1,1,2,5,7,10\}), concluímos que a lei (ii) também vale para estes conjuntos.

Resposta

(A\cap B)^{c}=A^{c}\cup B^{c}=\{-10,-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}
(A\cup B)^{c}=A^{c}\cap B^{c}=\{-10,-7,-5,-2,-1,1,2,5,7,10\}

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