Exercício 6. As leis de De Morgan dizem que para quaisquer conjuntos
vale que
(i)
(ii)
Considerando
como conjunto universo, verifique as leis de De Morgan para os seguintes conjuntos.
e
(i)
(ii)
Passo 1
O que o exercício pede: verificar as leis de De Morgan
(i) e
(ii)
para os conjuntos dados.
(i)
(ii)
para os conjuntos dados.
Informações fornecidas (tudo que vamos usar):
Observação importante (usada em toda a verificação): quando se fala em complemento
aqui, é sempre o complemento relativo ao conjunto universo
; ou seja
.
Passo 2
Escrevo explicitamente o conjunto universo
, para não errar ao listar complementos:
Passo 3
Calculo
. Por definição
são os inteiros em
divisíveis por
. Os múltiplos de
entre
e
são:
Explicando como encontrei: começando em
e indo até
, os números que deixam resto zero na divisão por
são os mostrados acima.
Passo 4
Calculo
. Foi dado
. Substituo os valores de
:
(Observe que estou usando exatamente os elementos fornecidos pelo enunciado.)
Passo 5
Calculo
, a interseção: elementos que estão simultaneamente em
e em
.
Comparando as listas
Comparando as listas
o único elemento em comum é
. Logo
Raciocínio adicional (útil na prova): um número que seja múltiplo de
e de
ao mesmo tempo é múltiplo de
; entre
e
o único múltiplo de
é
.
Passo 6
Calculo o complemento
. Como
,
Explicando: complemento significa “tudo em
que não está em
” — ou seja, todos os elementos de
exceto
.
Passo 7
Calculo os complementos
e
separadamente.
Primeiro
. Removo de
os múltiplos de
:
(Deixei fora
que são os elementos de
.)
Depois
. Removo de
os elementos de
:
(Deixei fora
que são os elementos de
.)
Passo 8
Calculo
. A união contém todo elemento que pertence a
ou a
(ou a ambos). Observação prática: o único elemento de
que não aparece em nenhum dos complementos é um elemento que estaria simultaneamente em
e em
. Vimos no Passo 5 que
. Então
não pertence nem a
nem a
, enquanto qualquer outro
com
não pode estar em ambos
e
ao mesmo tempo (pois a interseção é só
); portanto todo
pertence a pelo menos um dos complementos. Conclusão:
Passo 9
Comparando os resultados do Passo 6 e do Passo 8 vemos que
porque ambos são iguais a
. Assim a lei (i) está verificada para estes conjuntos.
Passo 10
Agora verifico a segunda lei. Primeiro calcule
: união dos elementos de
e de
. Juntando as listas
obtenho (ordenando em ordem crescente)
Passo 11
Calculo o complemento
. Removendo os elementos da união da lista de
resultam os elementos que NÃO aparecem em
:
Verificação rápida:
tinha
elementos;
tem
elementos, então o complemento tem
elementos — bate com a lista acima.
Passo 12
Calculo
. Um elemento está em
se e somente se NÃO está em
e também NÃO está em
. Ou seja, são exatamente os elementos que não pertencem nem a
nem a
, isto é,
. Portanto
Posso também verificar elemento a elemento: por exemplo
não é múltiplo de
e não está em
, logo pertence à interseção; para
, idem; e para
não — porque
pertence tanto a
quanto a
, então
. A lista coincide com
acima.
Passo 13
Como
e
coincidem (ambos iguais a
), concluímos que a lei (ii) também vale para estes conjuntos.