Exercício 8. Um subconjunto
contém doze múltiplos de 4 , sete múltiplos de 6 , cinco múltiplos de 12 e 8 números ímpares. Qual o número de elementos de
?
Passo 1
O enunciado pede: “Qual o número de elementos de
?” \n
Informações dadas sobre o subconjunto :\n
Informações dadas sobre o subconjunto
- Contém doze múltiplos de
, ou seja .\n - Contém sete múltiplos de
, ou seja .\n - Contém cinco múltiplos de
, ou seja .\n - Contém oito números ímpares, ou seja
.\n
Aquidenota o conjunto dos elementos de que são múltiplos de , os múltiplos de em , e os múltiplos de em .
Passo 2
Observação importante sobre relações entre esses conjuntos: todo múltiplo de
é múltiplo de
e de
ao mesmo tempo. Em linguagem de conjuntos:
Isso significa que os
múltiplos de
já estão incluídos nas contagens de
e
; portanto ao somar
contaríamos esses
elementos duas vezes.
Passo 3
Para corrigir a contagem dupla usamos o Princípio da Inclusão-Exclusão para dois conjuntos. A fórmula é:
Explicando a fórmula: somamos os elementos de
e de
, mas os que pertencem a ambos foram contados duas vezes, então subtraímos uma vez
para obter o número de elementos distintos que são múltiplos de
ou de
.
Passo 4
Aplicando a fórmula com os números dados:
Calcule passo a passo:
. Depois
. Logo
Isto significa que, dentro de
, há
elementos que são múltiplos de
ou de
(contando cada elemento apenas uma vez).
Passo 5
Agora consideramos os números ímpares. Todo múltiplo de
, de
e, em particular, de
é um número par (pois
são pares). Portanto nenhum número ímpar pode estar simultaneamente em
ou em
. Em símbolos:
Isso quer dizer que os
ímpares são elementos distintos, sem sobreposição com os
múltiplos de
ou
.
Passo 6
Como não há sobreposição entre os ímpares e os múltiplos de
ou
, o número total de elementos de
é a soma desses dois grupos distintos:
Calculando:
.