Exercício 8. Um subconjunto A \subset \mathbb{N} contém doze múltiplos de 4 , sete múltiplos de 6 , cinco múltiplos de 12 e 8 números ímpares. Qual o número de elementos de A ?

Passo 1

O enunciado pede: “Qual o número de elementos de A ?” \n
Informações dadas sobre o subconjunto A:\n
  • Contém doze múltiplos de 4, ou seja |M_4| = 12.\n
  • Contém sete múltiplos de 6, ou seja |M_6| = 7.\n
  • Contém cinco múltiplos de 12, ou seja |M_{12}| = 5.\n
  • Contém oito números ímpares, ou seja |\text{Ímpares}| = 8Í.\n
    Aqui M_4 denota o conjunto dos elementos de A que são múltiplos de 4, M_6 os múltiplos de 6 em A, e M_{12} os múltiplos de 12 em A.

Passo 2

Observação importante sobre relações entre esses conjuntos: todo múltiplo de 12 é múltiplo de 4 e de 6 ao mesmo tempo. Em linguagem de conjuntos:
M_{12} = M_4 \cap M_6.
Isso significa que os 5 múltiplos de 12 já estão incluídos nas contagens de |M_4|=12 e |M_6|=7; portanto ao somar |M_4|+|M_6| contaríamos esses 5 elementos duas vezes.

Passo 3

Para corrigir a contagem dupla usamos o Princípio da Inclusão-Exclusão para dois conjuntos. A fórmula é:
|M_4 \cup M_6| = |M_4| + |M_6| - |M_4 \cap M_6|.
Explicando a fórmula: somamos os elementos de M_4 e de M_6, mas os que pertencem a ambos foram contados duas vezes, então subtraímos uma vez |M_4\cap M_6| para obter o número de elementos distintos que são múltiplos de 4 ou de 6.

Passo 4

Aplicando a fórmula com os números dados:
|M_4 \cup M_6| = 12 + 7 - 5.
Calcule passo a passo: 12 + 7 = 19. Depois 19 - 5 = 14. Logo
|M_4 \cup M_6| = 14.
Isto significa que, dentro de A, há 14 elementos que são múltiplos de 4 ou de 6 (contando cada elemento apenas uma vez).

Passo 5

Agora consideramos os números ímpares. Todo múltiplo de 4, de 6 e, em particular, de 12 é um número par (pois 4,6,12 são pares). Portanto nenhum número ímpar pode estar simultaneamente em M_4 ou em M_6. Em símbolos:
(M_4 \cup M_6) \cap \text{Ímpares} = \varnothing.Í
Isso quer dizer que os 8 ímpares são elementos distintos, sem sobreposição com os 14 múltiplos de 4 ou 6.

Passo 6

Como não há sobreposição entre os ímpares e os múltiplos de 4 ou 6, o número total de elementos de A é a soma desses dois grupos distintos:
|A| = |M_4 \cup M_6| + |\text{Ímpares}| = 14 + 8.Í
Calculando: 14 + 8 = 22.

Resposta

22

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