Exercício 3. Temos \gamma:[0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \gamma(t)=\left(\mathrm{e}^{-t} \cos (t), \mathrm{e}^{-t} \operatorname{sen}(t), \mathrm{e}^{-t}\right).
(a) Seja L(\tau) o comprimento da curva de \gamma(0)=(1,0,1) a \gamma(\tau)=\left(\mathrm{e}^{-\tau} \cos (\tau), \mathrm{e}^{-\tau} \operatorname{sen}(\tau), \mathrm{e}^{-\tau}\right). Como
L(\tau)=\int_{0}^{\tau}\left\|\gamma^{\prime}(t)\right\| d t=\int_{0}^{\tau} \sqrt{3} \mathrm{e}^{-t} d t=-\left.\sqrt{3} \mathrm{e}^{-t}\right|_{0} ^{\tau}=\sqrt{3}\left(1-\mathrm{e}^{-\tau}\right) .
Pedido:
(a) Calcular o comprimento L(\tau) da curva de \gamma(0)=(1,0,1) até \gamma(\tau)=\bigl(\mathrm{e}^{-\tau}\cos(\tau),\mathrm{e}^{-\tau}\sin(\tau),\mathrm{e}^{-\tau}\bigr).
(b) Calcular \displaystyle\lim_{\tau\to+\infty}L(\tau).
Passo 2
Fórmula do comprimento de arco e significado das quantidades.
Para uma curva parametrizada por \gamma(t) com derivada \gamma'(t) contínua, o comprimento da curva do parâmetro t=a até t=b é dado por
L=\int_{a}^{b}\bigl\|\gamma'(t)\bigr\|\,dt.
Aqui \bigl\|\gamma'(t)\bigr\| é a norma euclidiana da derivada, isto é, se \gamma'(t)=(x'(t),y'(t),z'(t)) então
No nosso caso queremos L(\tau)=\displaystyle\int_{0}^{\tau}\bigl\|\gamma'(t)\bigr\|\,dt. O próximo passo é calcular explicitamente \bigl\|\gamma'(t)\bigr\|.
Passo 3
Cálculo da derivada componente a componente (reapresentando com a regra do produto).
Para lembrar: regra do produto para u(t)v(t) diz (uv)'=u'v+uv'.
Primeira componente x(t)=\mathrm{e}^{-t}\cos(t). Então
Observação intuitiva: a presença do fator \mathrm{e}^{-t} indica que a velocidade da curva decai exponencialmente, o que sugere que a curva tem comprimento finito quando extendida até t\to\infty.
Passo 6
Cálculo do comprimento L(\tau) usando a integral do passo 2.
Substituindo \bigl\|\gamma'(t)\bigr\|=\sqrt{3}\,\mathrm{e}^{-t} na integral:
Calcular a integral: uma antiderivada de \mathrm{e}^{-t} é -\mathrm{e}^{-t}. Logo uma antiderivada de \sqrt{3}\,\mathrm{e}^{-t} é -\sqrt{3}\,\mathrm{e}^{-t}.