Exercício 3. Temos \gamma:[0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \gamma(t)=\left(\mathrm{e}^{-t} \cos (t), \mathrm{e}^{-t} \operatorname{sen}(t), \mathrm{e}^{-t}\right).
(a) Seja L(\tau) o comprimento da curva de \gamma(0)=(1,0,1) a \gamma(\tau)=\left(\mathrm{e}^{-\tau} \cos (\tau), \mathrm{e}^{-\tau} \operatorname{sen}(\tau), \mathrm{e}^{-\tau}\right). Como
\gamma^{\prime}(t)=\left(-\mathrm{e}^{-t} \cos (t)-\mathrm{e}^{-t} \operatorname{sen}(t),-\mathrm{e}^{-t} \operatorname{sen}(t)+\mathrm{e}^{-t} \cos (t),-\mathrm{e}^{-t}\right),
segue que
\begin{aligned} \left\|\gamma^{\prime}(t)\right\|^{2} & =\left(\mathrm{e}^{-t} \cos (t)+\mathrm{e}^{-t} \operatorname{sen}(t)\right)^{2}+\left(\mathrm{e}^{-t} \cos (t)-\mathrm{e}^{-t} \operatorname{sen}(t)\right)^{2}+\mathrm{e}^{-2 t} \\\ & =\mathrm{e}^{-2 t}\left[(\cos (t)+\operatorname{sen}(t))^{2}+(\cos (t)-\operatorname{sen}(t))^{2}+1\right] \\\ & =\mathrm{e}^{-2 t}[1+2 \cos (t) \operatorname{sen}(t)+1-2 \cos (t) \operatorname{sen}(t)+1]=3 \mathrm{e}^{-2 t} \end{aligned}
Portanto,
L(\tau)=\int_{0}^{\tau}\left\|\gamma^{\prime}(t)\right\| d t=\int_{0}^{\tau} \sqrt{3} \mathrm{e}^{-t} d t=-\left.\sqrt{3} \mathrm{e}^{-t}\right|_{0} ^{\tau}=\sqrt{3}\left(1-\mathrm{e}^{-\tau}\right) .
(b) \lim _{\tau \rightarrow+\infty} L(\tau)=\lim _{\tau \rightarrow+\infty} \sqrt{3}\left(1-\mathrm{e}^{-\tau}\right)=\sqrt{3}.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado: a curva parametrizada \gamma:[0,+\infty)\to\mathbb{R}^3 definida por
\gamma(t)=\bigl(\mathrm{e}^{-t}\cos(t),\;\mathrm{e}^{-t}\sin(t),\;\mathrm{e}^{-t}\bigr).
  • Também é fornecida a expressão (fornecida no enunciado) para a derivada \gamma'(t):
\gamma^{\prime}(t)=\bigl(-\mathrm{e}^{-t}\cos(t)-\mathrm{e}^{-t}\sin(t),\; -\mathrm{e}^{-t}\sin(t)+\mathrm{e}^{-t}\cos(t),\; -\mathrm{e}^{-t}\bigr).
  • Pedido:
    (a) Calcular o comprimento L(\tau) da curva de \gamma(0)=(1,0,1) até \gamma(\tau)=\bigl(\mathrm{e}^{-\tau}\cos(\tau),\mathrm{e}^{-\tau}\sin(\tau),\mathrm{e}^{-\tau}\bigr).
    (b) Calcular \displaystyle\lim_{\tau\to+\infty}L(\tau).

Passo 2

Fórmula do comprimento de arco e significado das quantidades.
  • Para uma curva parametrizada por \gamma(t) com derivada \gamma'(t) contínua, o comprimento da curva do parâmetro t=a até t=b é dado por
L=\int_{a}^{b}\bigl\|\gamma'(t)\bigr\|\,dt.
  • Aqui \bigl\|\gamma'(t)\bigr\| é a norma euclidiana da derivada, isto é, se \gamma'(t)=(x'(t),y'(t),z'(t)) então
\bigl\|\gamma'(t)\bigr\|=\sqrt{(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}+(z'(t))^{2}}.
  • No nosso caso queremos L(\tau)=\displaystyle\int_{0}^{\tau}\bigl\|\gamma'(t)\bigr\|\,dt. O próximo passo é calcular explicitamente \bigl\|\gamma'(t)\bigr\|.

Passo 3

Cálculo da derivada componente a componente (reapresentando com a regra do produto).
  • Para lembrar: regra do produto para u(t)v(t) diz (uv)'=u'v+uv'.
  • Primeira componente x(t)=\mathrm{e}^{-t}\cos(t). Então
x'(t)=(-\mathrm{e}^{-t})\cos(t)+\mathrm{e}^{-t}(-\sin(t))=-\mathrm{e}^{-t}\cos(t)-\mathrm{e}^{-t}\sin(t).
  • Segunda componente y(t)=\mathrm{e}^{-t}\sin(t). Então
y'(t)=(-\mathrm{e}^{-t})\sin(t)+\mathrm{e}^{-t}\cos(t)=-\mathrm{e}^{-t}\sin(t)+\mathrm{e}^{-t}\cos(t).
  • Terceira componente z(t)=\mathrm{e}^{-t}. Então
z'(t)=-\mathrm{e}^{-t}.
  • Portanto a derivada dada no enunciado está conferida:
\gamma^{\prime}(t)=\bigl(-\mathrm{e}^{-t}\cos(t)-\mathrm{e}^{-t}\sin(t),\; -\mathrm{e}^{-t}\sin(t)+\mathrm{e}^{-t}\cos(t),\; -\mathrm{e}^{-t}\bigr).

Passo 4

Cálculo de \bigl\|\gamma'(t)\bigr\|^{2} passo a passo.
  • Escrevendo quadrados das componentes:
\bigl\|\gamma'(t)\bigr\|^{2}=\bigl(-\mathrm{e}^{-t}\cos(t)-\mathrm{e}^{-t}\sin(t)\bigr)^{2}+\bigl(-\mathrm{e}^{-t}\sin(t)+\mathrm{e}^{-t}\cos(t)\bigr)^{2}+\bigl(-\mathrm{e}^{-t}\bigr)^{2}.
  • Em cada termo existe o fator \mathrm{e}^{-t}, então podemos fatorar \mathrm{e}^{-2t}:
\bigl\|\gamma'(t)\bigr\|^{2}=\mathrm{e}^{-2t}\Bigl[(\cos(t)+\sin(t))^{2}+(\cos(t)-\sin(t))^{2}+1\Bigr].
  • Agora expandimos ou usamos uma identidade conveniente. Note que
(\cos(t)+\sin(t))^{2}+(\cos(t)-\sin(t))^{2}=2\cos^{2}(t)+2\sin^{2}(t)=2\bigl(\cos^{2}(t)+\sin^{2}(t)\bigr).
  • Como \cos^{2}(t)+\sin^{2}(t)=1, isso dá
(\cos(t)+\sin(t))^{2}+(\cos(t)-\sin(t))^{2}=2.
  • Assim
\bigl\|\gamma'(t)\bigr\|^{2}=\mathrm{e}^{-2t}\bigl[2+1\bigr]=3\,\mathrm{e}^{-2t}.

Passo 5

Obter \bigl\|\gamma'(t)\bigr\| e interpretar o resultado.
  • Como \bigl\|\gamma'(t)\bigr\|^{2}=3\,\mathrm{e}^{-2t} e a norma é não negativa, temos
\bigl\|\gamma'(t)\bigr\|=\sqrt{3}\,\mathrm{e}^{-t}.
  • Observação intuitiva: a presença do fator \mathrm{e}^{-t} indica que a velocidade da curva decai exponencialmente, o que sugere que a curva tem comprimento finito quando extendida até t\to\infty.

Passo 6

Cálculo do comprimento L(\tau) usando a integral do passo 2.
  • Substituindo \bigl\|\gamma'(t)\bigr\|=\sqrt{3}\,\mathrm{e}^{-t} na integral:
L(\tau)=\int_{0}^{\tau}\bigl\|\gamma'(t)\bigr\|\,dt=\int_{0}^{\tau}\sqrt{3}\,\mathrm{e}^{-t}\,dt.
  • Calcular a integral: uma antiderivada de \mathrm{e}^{-t} é -\mathrm{e}^{-t}. Logo uma antiderivada de \sqrt{3}\,\mathrm{e}^{-t} é -\sqrt{3}\,\mathrm{e}^{-t}.
  • Avaliando de 0 a \tau:
L(\tau)=-\sqrt{3}\,\mathrm{e}^{-t}\Big|_{0}^{\tau}=-\sqrt{3}\,\mathrm{e}^{-\tau}-\bigl(-\sqrt{3}\,\mathrm{e}^{0}\bigr)=\sqrt{3}\bigl(1-\mathrm{e}^{-\tau}\bigr).

Passo 7

Cálculo do limite pedido na parte (b).
  • Precisamos de \displaystyle\lim_{\tau\to+\infty}L(\tau)=\lim_{\tau\to+\infty}\sqrt{3}\bigl(1-\mathrm{e}^{-\tau}\bigr).
  • Sabendo que \displaystyle\lim_{\tau\to+\infty}\mathrm{e}^{-\tau}=0 (exponencial decai para zero), obtemos
\lim_{\tau\to+\infty}L(\tau)=\sqrt{3}\bigl(1-0\bigr)=\sqrt{3}.

Resposta

L(\tau)=\sqrt{3}\bigl(1-\mathrm{e}^{-\tau}\bigr)
\displaystyle\lim_{\tau\to+\infty}L(\tau)=\sqrt{3}

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