Exercício 7.

(a) Sabendo que \boldsymbol{r}^{\prime}(t)=(-3 z(t), 4,3 x(t))\), temos o sistema: \[\begin{cases}\frac{d x}{d t}=-3 z(t), & x(0)=0 \\\ \frac{d y}{d t}=4, & y(0)=0 \\\ \frac{d z}{d t}=3 x(t), & z(0)=1\end{cases}
Derivando a primera equação do sistema e usando a terceira, obtemos
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}=-3 \frac{d z}{d t}=-9 x(t)
Portanto, x(t)\] é solução da equação homogênea \(x^{\prime \prime}+9 x=0. Como a equação característica tem raízes r= \pm 3 \mathrm{i}, a solução geral é x(t)=A \cos (3 t)+B \operatorname{sen}(3 t).
Para determinar as constantes A e B, usamos as condições inciais. Assim, 0=x(0)=A. Além disso, x^{\prime}(t)=3 B \cos (3 t) e usando a primeira equação, obtemos 3 B=x^{\prime}(0)=-3 z(0)=-3. Logo, B=-1, i.e., x(t)=-\operatorname{sen}(3 t).
Por outro lado, é evidente que y(t)=4 t.
Finalmente, da terceira equação do sistema e sabendo que x(t)=-\operatorname{sen}(3 t), obtemos
z(t)-1=-3 \int_{0}^{t} \operatorname{sen}(3 \tau) d \tau=\cos (3 t)-1 \Rightarrow z(t)=\cos (3 t)

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dão-se as componentes da derivada de uma curva no espaço \boldsymbol{r}(t)=(x(t),y(t),z(t))\) pela fórmula \[\boldsymbol{r}^{\prime}(t)=(-3\,z(t),\,4,\,3\,x(t)).
  • Isso gera o sistema de equações para as componentes:
\begin{cases} \dfrac{d x}{d t}=-3\,z(t), & x(0)=0,\\[6pt] \dfrac{d y}{d t}=4, & y(0)=0,\\[6pt] \dfrac{d z}{d t}=3\,x(t), & z(0)=1. \end{cases}
  • Pergunta implícita: determinar explicitamente x(t)\], \(y(t) e z(t) para todo t (isto é, encontrar \boldsymbol{r}(t) que satisfaz o sistema e as condições iniciais).
  • Dados relevantes a usar: as três equações diferenciais acopladas e as condições iniciais x(0)=0, y(0)=0, z(0)=1.]

Passo 2

Transformar o sistema numa equação mais simples para uma única incógnita (desacoplar).
  • Derive a primeira equação em relação a t. Como x'(t)=-3\,z(t), pela regra da derivada:
x''(t) = -3\,z'(t).
  • Mas a terceira equação do sistema diz z'(t)=3\,x(t). Substituindo:
x''(t) = -3\cdot(3\,x(t)) = -9\,x(t).
  • Assim obtemos a equação diferencial de segunda ordem para x(t):
x''(t) + 9\,x(t) = 0.
Comentário didático curto: isso é comum em sistemas acoplados linearmente — diferenciando uma equação e substituindo outra conseguimos uma única equação para uma componente.

Passo 3

Resolver a equação homogênea linear com coeficientes constantes.
  • A equação \;x''+9x=0\; tem equação característica
r^{2}+9=0 \quad\Rightarrow\quad r=\pm 3\mathrm{i}.
  • Roots complexos conjugados indicam que a solução real geral é combinação de cosseno e seno com frequência 3:
x(t)=A\cos(3t)+B\operatorname{sen}(3t),
onde A e B são constantes reais a determinar pelas condições iniciais.
  • Explicação didática: quando a característica tem r=\alpha\pm\beta\mathrm{i}, a solução real é e^{\alpha t}(C_{1}\cos(\beta t)+C_{2}\sin(\beta t)). Aqui \alpha=0 e \beta=3.

Passo 4

Determinar as constantes A e B usando as condições iniciais e a relação entre x' e z.
  • Primeiro, da condição inicial:
x(0)=A\cos 0 + B\operatorname{sen}0 = A\cdot 1 + B\cdot 0 = A,
logo A=0 (porque x(0)=0).
  • Calcule x'(t) para relacioná-lo a z. Derivando x(t):
x'(t) = -3A\operatorname{sen}(3t) + 3B\cos(3t).
Com A=0 isso simplifica para x'(t)=3B\cos(3t).
  • Avaliando em t=0:
x'(0)=3B\cdot 1 = 3B.
  • Mas pela primeira equação do sistema temos x'(0)=-3\,z(0)=-3\cdot 1=-3. Então
3B = -3 \quad\Rightarrow\quad B=-1.
  • Conclusão: as constantes são A=0 e B=-1, portanto
x(t) = -\operatorname{sen}(3t).
Didática sobre passos usados: para achar B usamos a derivada de x (regra da cadeia e derivada de seno/cosseno) e a condição fornecida pela equação original em t=0.

Passo 5

Resolver a equação para y(t) (caso simples).
  • A equação é \dfrac{d y}{d t}=4. Integre em t:
y(t)=4t + C.
  • Usa-se y(0)=0 para achar C: 0 = 4\cdot 0 + C\Rightarrow C=0.
  • Portanto
y(t)=4t.
Didática: integrar uma derivada constante dá função linear; a constante de integração é fixada pela condição inicial.

Passo 6

Encontrar z(t) integrando a terceira equação com x(t) já conhecida.
  • A terceira equação é z'(t)=3\,x(t). Substitua x(t)=-\operatorname{sen}(3t):
z'(t)=3\cdot\bigl(-\operatorname{sen}(3t)\bigr) = -3\operatorname{sen}(3t).
  • Integre de 0 até t e use z(0)=1. Escrevendo com variável de integração \tau:
z(t)-z(0) = \int_{0}^{t} z'(\tau)\,d\tau = \int_{0}^{t} -3\operatorname{sen}(3\tau)\,d\tau.
  • Calcule a integral. Lembre: \dfrac{d}{d\tau}\bigl(\cos(3\tau)\bigr) = -3\operatorname{sen}(3\tau). Assim
\int_{0}^{t} -3\operatorname{sen}(3\tau)\,d\tau = \bigl[\cos(3\tau)\bigr]_{0}^{t} = \cos(3t)-\cos(0) = \cos(3t)-1.
  • Como z(0)=1, segue
z(t)-1 = \cos(3t)-1 \quad\Rightarrow\quad z(t)=\cos(3t).

Passo 7

Verificação rápida e interpretação geométrica (útil para entender o resultado na prova).
  • Verificação das equações originais:
    • x'(t)=\dfrac{d}{dt}\bigl(-\operatorname{sen}(3t)\bigr) = -3\cos(3t) = -3\,z(t) (confere).
    • y'(t)=\dfrac{d}{dt}(4t)=4 (confere).
    • z'(t)=\dfrac{d}{dt}\bigl(\cos(3t)\bigr) = -3\operatorname{sen}(3t)=3x(t) (confere).
  • Verificação das condições iniciais: x(0)=0, y(0)=0, z(0)=1 (confere).
  • Interpretação geométrica curta e motivadora: as componentes x(t) e z(t) satisfazem
x^{2}(t)+z^{2}(t)=\operatorname{sen}^{2}(3t)+\cos^{2}(3t)=1,
logo a projeção no plano xz é um círculo unitário percorrido com frequência angular 3. Como y(t)=4t cresce linearmente, a curva é uma hélice (raio 1) ao longo do eixo y, com velocidade angular 3 e “subida” por unidade de tempo igual a 4. Isso ajuda a visualizar a trajetória no espaço — útil para interpretar o gráfico fornecido.

Resposta

x(t)=-\operatorname{sen}(3t)
y(t)=4t
z(t)=\cos(3t)

Exercícios relacionados