Portanto, x(t)\] é solução da equação homogênea \(x^{\prime \prime}+9 x=0. Como a equação característica tem raízes r= \pm 3 \mathrm{i}, a solução geral é x(t)=A \cos (3 t)+B \operatorname{sen}(3 t).
Para determinar as constantes A e B, usamos as condições inciais. Assim, 0=x(0)=A. Além disso, x^{\prime}(t)=3 B \cos (3 t) e usando a primeira equação, obtemos 3 B=x^{\prime}(0)=-3 z(0)=-3. Logo, B=-1, i.e., x(t)=-\operatorname{sen}(3 t).
Por outro lado, é evidente que y(t)=4 t.
Finalmente, da terceira equação do sistema e sabendo que x(t)=-\operatorname{sen}(3 t), obtemos
Dão-se as componentes da derivada de uma curva no espaço \boldsymbol{r}(t)=(x(t),y(t),z(t))\) pela fórmula
\[\boldsymbol{r}^{\prime}(t)=(-3\,z(t),\,4,\,3\,x(t)).
Isso gera o sistema de equações para as componentes:
Pergunta implícita: determinar explicitamente x(t)\], \(y(t) e z(t) para todo t (isto é, encontrar \boldsymbol{r}(t) que satisfaz o sistema e as condições iniciais).
Dados relevantes a usar: as três equações diferenciais acopladas e as condições iniciais x(0)=0, y(0)=0, z(0)=1.]
Passo 2
Transformar o sistema numa equação mais simples para uma única incógnita (desacoplar).
Derive a primeira equação em relação a t. Como x'(t)=-3\,z(t), pela regra da derivada:
x''(t) = -3\,z'(t).
Mas a terceira equação do sistema diz z'(t)=3\,x(t). Substituindo:
x''(t) = -3\cdot(3\,x(t)) = -9\,x(t).
Assim obtemos a equação diferencial de segunda ordem para x(t):
x''(t) + 9\,x(t) = 0.
Comentário didático curto: isso é comum em sistemas acoplados linearmente — diferenciando uma equação e substituindo outra conseguimos uma única equação para uma componente.
Passo 3
Resolver a equação homogênea linear com coeficientes constantes.
Roots complexos conjugados indicam que a solução real geral é combinação de cosseno e seno com frequência 3:
x(t)=A\cos(3t)+B\operatorname{sen}(3t),
onde A e B são constantes reais a determinar pelas condições iniciais.
Explicação didática: quando a característica tem r=\alpha\pm\beta\mathrm{i}, a solução real é e^{\alpha t}(C_{1}\cos(\beta t)+C_{2}\sin(\beta t)). Aqui \alpha=0 e \beta=3.
Passo 4
Determinar as constantes A e B usando as condições iniciais e a relação entre x' e z.
Calcule x'(t) para relacioná-lo a z. Derivando x(t):
x'(t) = -3A\operatorname{sen}(3t) + 3B\cos(3t).
Com A=0 isso simplifica para x'(t)=3B\cos(3t).
Avaliando em t=0:
x'(0)=3B\cdot 1 = 3B.
Mas pela primeira equação do sistema temos x'(0)=-3\,z(0)=-3\cdot 1=-3. Então
3B = -3 \quad\Rightarrow\quad B=-1.
Conclusão: as constantes são A=0 e B=-1, portanto
x(t) = -\operatorname{sen}(3t).
Didática sobre passos usados: para achar B usamos a derivada de x (regra da cadeia e derivada de seno/cosseno) e a condição fornecida pela equação original em t=0.
logo a projeção no plano xz é um círculo unitário percorrido com frequência angular 3. Como y(t)=4t cresce linearmente, a curva é uma hélice (raio 1) ao longo do eixo y, com velocidade angular 3 e “subida” por unidade de tempo igual a 4. Isso ajuda a visualizar a trajetória no espaço — útil para interpretar o gráfico fornecido.