Exercício 2:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt{\frac{x^{5}-4 x^{3}+x^{2}}{x^{2}+2}}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to+\infty}\sqrt{\frac{x^{5}-4x^{3}+x^{2}}{x^{2}+2}},
que é um limite de uma raiz quadrada de quociente de polinômios quando x cresce muito. Para resolver, vamos usar o termo de maior grau em numerator e denominador para simplificar.

Passo 2

Dentro da raiz, fatoramos x^5 no numerador e x^2 no denominador:
\frac{x^{5}-4x^{3}+x^{2}}{x^{2}+2} = \frac{x^5\bigl(1 - \tfrac{4}{x^2} + \tfrac{1}{x^3}\bigr)}{x^2\bigl(1 + \tfrac{2}{x^2}\bigr)} = x^{3}\,\frac{1 - \tfrac{4}{x^2} + \tfrac{1}{x^3}}{1 + \tfrac{2}{x^2}}.

Passo 3

Agora a expressão fica
\sqrt{\frac{x^{5}-4x^{3}+x^{2}}{x^{2}+2}} = \sqrt{x^{3}\,\frac{1 - \tfrac{4}{x^2} + \tfrac{1}{x^3}}{1 + \tfrac{2}{x^2}}} = x^{3/2}\,\sqrt{\frac{1 - \tfrac{4}{x^2} + \tfrac{1}{x^3}}{1 + \tfrac{2}{x^2}}}.

Passo 4

Quando x\to+\infty, os termos \tfrac{4}{x^2}, \tfrac{1}{x^3} e \tfrac{2}{x^2} vão a zero. Logo
\frac{1 - \tfrac{4}{x^2} + \tfrac{1}{x^3}}{1 + \tfrac{2}{x^2}} \;\longrightarrow\;1,
e sua raiz quadrada também tende a 1.

Passo 5

Portanto a expressão principal se comporta como
x^{3/2}\times 1
quando x cresce, e como x^{3/2}\to+\infty, a raiz original vai a +\infty.

Resposta

+\infty

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