Exercício 2:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt{\frac{x+1}{x-1}}

Passo 1

O enunciado pede \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}.
O conteúdo envolve limites de funções e uso de fatoração para lidar com termos dominantes quando x\to+\infty.

Passo 2

Primeiro, dentro da raiz, fatoramos x no numerador e no denominador:
\frac{x+1}{x-1} = \frac{x\bigl(1 + \tfrac{1}{x}\bigr)}{x\bigl(1 - \tfrac{1}{x}\bigr)} = \frac{1 + \tfrac{1}{x}}{1 - \tfrac{1}{x}}.
Como a função raiz quadrada é contínua para argumentos positivos, podemos passar o limite para dentro:
\lim_{x\to+\infty}\sqrt{\frac{x+1}{x-1}} = \sqrt{\lim_{x\to+\infty}\frac{1 + \tfrac{1}{x}}{1 - \tfrac{1}{x}}}.
Agora, quando x\to+\infty, temos \tfrac{1}{x}\to0, logo
\lim_{x\to+\infty}\frac{1 + \tfrac{1}{x}}{1 - \tfrac{1}{x}} = \frac{1+0}{1-0} =1.

Resposta

1

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