Exercício 2:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{2 x-x^{2}}{5+3 x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to+\infty}\frac{2x - x^2}{5 + 3x}.
O conteúdo aqui é limite de função racional no infinito. Vamos comparar os graus dos polinômios e usar o comportamento dominante dos termos de maior grau.

Passo 2

Identificamos os graus dos polinômios: o numerador 2x - x^2 é de grau 2 e o denominador 5 + 3x é de grau 1. Quando o grau do numerador é maior que o do denominador, o valor do limite em módulo tende a infinito, com o sinal determinado pelos coeficientes líderes.

Passo 3

Extraímos os termos de maior grau: no numerador o termo dominante é -x^2 (coeficiente líder -1); no denominador é 3x (coeficiente líder 3). Assim, para x muito grande,
\frac{2x - x^2}{5 + 3x}\sim \frac{-x^2}{3x} = -\frac{1}{3}\,x.
Como x\to+\infty, temos -\tfrac{1}{3}x\to -\infty.

Resposta

-\infty

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