Um circuito possui um indutor de
, um resistor de
, e um capacitor de
ligados em série. Inicialmente a carga no capacitor é nula e a corrente que passa no circuito é 2 A . (a) Determine a carga no capacitor e a corrente no circuito em função do tempo. b) Qual é a carga no capacitor e a corrente no circuito quando
. c) Se quisermos trocar o resistor do circuito para ter um amortecimento crítico, qual deverá ser o novo valor da resistência? d) Repita os itens a) e b) assumindo a resistência encontrada em c) e mantendo todos os outros parâmetros inalterados.
- Fixando a notação: nos exercícios 16-18, temos circuitos elétricos. Denotamos
como sendo a carga no capacitor, de modo que
representa a corrente que passa pelo circuito. De modo geral, um resistor R , um capacitor C e um indutor
estão ligados em série a uma fonte cuja força eletromotriz é
. Esse circuito é denominado RLC.
Sabendo que a ddp entre os terminais de uma resistência é
, entre os terminais de um capacitor é
, e entre os terminais de um indutor é
, temos pela lei de Kirchoff que
em completa analogia a uma sistema massa-mola. Teremos em muitos casos soluções oscilatórias do tipo
que podem ser reescritas como
onde
,
são constantes. Quando
,
é chamada de amplitude,
é a frequência, e
é a fase. Quando
, dizemos que
é a quasifrequência.
Passo 1
O enunciado descreve um circuito série RLC sem fonte externa após
, com indutância
, resistência
e capacitância
. Denotamos por
a carga no capacitor e por
a corrente. As condições iniciais são
A equação que rege o circuito é
Passo 2
Escrevendo a equação característica temos
Calculamos
Logo a forma canônica é
com raízes
Passo 3
Como
, o regime é subamortecido e a solução geral é
Usando
dá
. A derivada é
e em
obtemos
Passo 4
Logo as funções são
Quando
, o fator
, logo
Passo 5
Para amortecimento crítico precisamos que o discriminante da característica seja zero, i.e.
Passo 6
Com
temos
. A solução crítica é
Das condições
e
segue
e
. Assim
De novo, para
ambos tendem a zero.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
e novamente