Um circuito possui um indutor de 5 / 3 \mathrm{H}, um resistor de 10 \Omega, e um capacitor de 30 \times 10^{-3} \mathrm{~F} ligados em série. Inicialmente a carga no capacitor é nula e a corrente que passa no circuito é 2 A . (a) Determine a carga no capacitor e a corrente no circuito em função do tempo. b) Qual é a carga no capacitor e a corrente no circuito quando t \rightarrow \infty. c) Se quisermos trocar o resistor do circuito para ter um amortecimento crítico, qual deverá ser o novo valor da resistência? d) Repita os itens a) e b) assumindo a resistência encontrada em c) e mantendo todos os outros parâmetros inalterados.
  • Fixando a notação: nos exercícios 16-18, temos circuitos elétricos. Denotamos q(t) como sendo a carga no capacitor, de modo que i(t)=d q / d t representa a corrente que passa pelo circuito. De modo geral, um resistor R , um capacitor C e um indutor L estão ligados em série a uma fonte cuja força eletromotriz é \epsilon(\mathrm{t}). Esse circuito é denominado RLC.
Sabendo que a ddp entre os terminais de uma resistência é \operatorname{Ri}(t), entre os terminais de um capacitor é q(t) / C, e entre os terminais de um indutor é L d i / d t, temos pela lei de Kirchoff que
L \frac{d^{2} q}{d t^{2}}+R \frac{d q}{d t}+\frac{1}{C} q=\epsilon(t),
em completa analogia a uma sistema massa-mola. Teremos em muitos casos soluções oscilatórias do tipo
q(t)=e^{-\alpha t}\left(C_{1} \cos (\omega t)+C_{2} \cos (\omega t)\right)
que podem ser reescritas como
q(t)=e^{-\alpha t} A \cos (\omega t+\varphi),
onde \alpha, \omega, C_{1}, C_{2}, A, \varphi são constantes. Quando \alpha=0, A é chamada de amplitude, \omega / 2 \pi é a frequência, e \varphi é a fase. Quando \alpha \neq 0, dizemos que \omega / 2 \pi é a quasifrequência.

Passo 1

O enunciado descreve um circuito série RLC sem fonte externa após t=0, com indutância L=\tfrac{5}{3}\,\mathrm H, resistência R=10\,\Omega e capacitância C=30\times10^{-3}\,\mathrm F. Denotamos por q(t) a carga no capacitor e por i(t)=\dot q(t) a corrente. As condições iniciais são
q(0)=0,\quad i(0)=2\,.
A equação que rege o circuito é
L\frac{d^2q}{dt^2}+R\frac{dq}{dt}+\frac1C\,q=0.

Passo 2

Escrevendo a equação característica temos
s^2+\frac{R}{L}s+\frac1{LC}=0.
Calculamos
\frac{R}{L}=\frac{10}{5/3}=6,\qquad\frac1{LC}=\frac1{\tfrac{5}{3}\cdot30\times10^{-3}}=20.
Logo a forma canônica é
s^2+6s+20=0,
com raízes
\alpha=\frac{6}{2}=3,\qquad\omega_0=\sqrt{20}=2\sqrt5.

Passo 3

Como \alpha<\omega_0, o regime é subamortecido e a solução geral é
q(t)=e^{-3t}\bigl(C_1\cos(\omega t)+C_2\sin(\omega t)\bigr), \quad \omega=\sqrt{\omega_0^2-\alpha^2}=\sqrt{20-9}=\sqrt{11}.
Usando q(0)=0 C_1=0. A derivada é
i(t)=\dot q(t) =e^{-3t}\Bigl(-3C_1\cos(\omega t)-3C_2\sin(\omega t) -\omega C_1\sin(\omega t)+\omega C_2\cos(\omega t)\Bigr),
e em t=0 obtemos
i(0)=C_2\,\omega=2\quad\Longrightarrow\quad C_2=\frac{2}{\sqrt{11}}.

Passo 4

Logo as funções são
q(t) =e^{-3t}\,\frac{2}{\sqrt{11}}\;\sin\bigl(\sqrt{11}\,t\bigr),
i(t) =e^{-3t}\Bigl(2\cos(\sqrt{11}\,t)-\frac{6}{\sqrt{11}}\sin(\sqrt{11}\,t)\Bigr).
Quando t\to\infty, o fator e^{-3t}\to0, logo
q(\infty)=0,\qquad i(\infty)=0.

Passo 5

Para amortecimento crítico precisamos que o discriminante da característica seja zero, i.e.
R_{\rm cr}=2\sqrt{\frac{L}{C}} =2\sqrt{\frac{5/3}{30\times10^{-3}}} \approx14{,}91\\ \Omega.

Passo 6

Com R=R_{\rm cr} temos \alpha=\omega_0=\sqrt{20}. A solução crítica é
q(t)=(C_1+C_2\,t)\,e^{-\sqrt{20}\,t}.
Das condições q(0)=0 e i(0)=\dot q(0)=2 segue C_1=0 e C_2=2. Assim
q(t)=2\,t\,e^{-\sqrt{20}\,t},
i(t)=\dot q(t) =2\,e^{-\sqrt{20}\,t}\bigl(1-\sqrt{20}\,t\bigr).
De novo, para t\to\infty ambos tendem a zero.

Resposta

(a)
q(t)=e^{-3t}\,\frac{2}{\sqrt{11}}\;\sin\bigl(\sqrt{11}\,t\bigr), \quad i(t)=e^{-3t}\Bigl(2\cos(\sqrt{11}\,t)-\frac{6}{\sqrt{11}}\sin(\sqrt{11}\,t)\Bigr).
(b)
q(\infty)=0,\quad i(\infty)=0.
(c)
R_{\rm cr}=2\sqrt{\frac{L}{C}}\approx14{,}91\\ \Omega.
(d)
q(t)=2\,t\,e^{-\sqrt{20}\,t}, \quad i(t)=2\,e^{-\sqrt{20}\,t}\bigl(1-\sqrt{20}\,t\bigr),
e novamente
q(\infty)=0,\quad i(\infty)=0.

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