Exercício 2:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt[3]{\frac{1-x^{2}}{x^{2}+x}}

Passo 1

O enunciado pede o valor de
\lim_{x\to+\infty}\sqrt[3]{\frac{1 - x^{2}}{x^{2} + x}}.
O conteúdo principal envolve limites de funções racionais e a aplicação da continuidade da função raiz cúbica.

Passo 2

Vamos reescrever a fração extraindo o fator dominante x^{2} no numerador e no denominador:
\frac{1 - x^{2}}{x^{2} + x} = \frac{x^{2}\bigl(\tfrac{1}{x^{2}} - 1\bigr)}{x^{2}\bigl(1 + \tfrac{1}{x}\bigr)} = \frac{-1 + \tfrac{1}{x^{2}}}{1 + \tfrac{1}{x}}.

Passo 3

Ao fazermos x\to+\infty, temos \tfrac{1}{x^{2}}\to0 e \tfrac{1}{x}\to0. Portanto,
\lim_{x\to+\infty}\frac{-1 + \tfrac{1}{x^{2}}}{1 + \tfrac{1}{x}} = \frac{-1 + 0}{1 + 0} = -1.

Passo 4

Como a função t\mapsto\sqrt[3]{t} é contínua em todo \mathbb{R}, podemos levar o limite para dentro da raiz:
\lim_{x\to+\infty}\sqrt[3]{\frac{1 - x^{2}}{x^{2} + x}} = \sqrt[3]{\lim_{x\to+\infty}\frac{1 - x^{2}}{x^{2} + x}} = \sqrt[3]{-1} = -1.

Resposta

-1

Exercícios relacionados