Exercício lista, calcule ângulo principal, tensões principais e tensão cisalhante máxima
c) sigma x=50, sigma y=-10 e tau x y=40

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente calcular o ângulo principal (ou seja, a rotação onde as tensões normais ficam extremas), as tensões principais (σ₁ e σ₂) e a tensão de cisalhamento máxima (τₘₐₓ), a partir dos dados:
σₓ = 50, σᵧ = –10 e τₓᵧ = 40.
Isso faz parte de Transformação de Tensões (ou Círculo de Mohr). Para resolver, vamos usar as fórmulas de tensão média, raio do Círculo de Mohr, equação da tangente do dobro do ângulo e tudo mais.

Passo 2

Primeiro, calcula a tensão média normal, que é o centro do nosso círculo:
sigmam = sigmax + sigmay2
Aqui a gente pega 50 + (–10) e divide por 2. É tipo achar o ponto médio entre as tensões 50 e –10.

Passo 3

Agora, a gente precisa do “raio” do Círculo de Mohr, que é a grande estrela pra achar as tensões principais e τₘₐₓ. A fórmula é
R = raizl(sigmax - sigmay2r)^2 + tauxy^2
Explicando: a diferença de σₓ e σᵧ sobre 2 mede o “distanciamento” horizontal no círculo, e τₓᵧ é o “distanciamento” vertical. Juntando em pitágoras, dá o raio.

Passo 4

Com σₘ e R em mãos, as tensões principais vêm direto:
sigma1 = sigmam + R, sigma2 = sigmam - R
Aqui é só subir ou descer do centro do círculo em R unidades.

Passo 5

Pra achar o ângulo principal θ_p (o ângulo entre o eixo x e o eixo de σ₁), a gente usa:
tan(2thetap) = 2,tauxysigmax - sigmay
Depois, isolamos θ_p:
thetap = tfrac12 arctan!l(2tauxysigmax - sigmayr)
Importante pensar no quadrante certo do arctan, mas aqui os valores são positivos de um jeito que bate direto.

Passo 6

A tensão de cisalhamento máxima é justamente o raio do Círculo de Mohr, então
taumax = R

Resposta

Substituindo os números:
σₘ = (50 + [–10])⁄2 = 20
Δσ⁄2 = (50 – (–10))⁄2 = 30
R = √(30² + 40²) = √2500 = 50
σ₁ = 20 + 50 = 70
σ₂ = 20 – 50 = –30
2θ_p = arctan(80/60) ≈ 53,13° → θ_p ≈ 26,57°
τₘₐₓ = 50
Logo:
σ₁ = 70, σ₂ = –30, θ_p ≈ 26,57°, τₘₐₓ = 50.

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