Exercício lista, calcule ângulo principal, tensões principais e tensão cisalhante máxima
e) sigma x=50, sigma y=-0 e tau x y=50

Passo 1

Beleza, resumindo: temos um estado plano de tensões com
  • σₓ = 50 (por exemplo MPa)
  • σᵧ = 0
  • τₓy = 50
Isso faz parte de Resistência dos Materiais (ou Mecânica dos Sólidos), onde queremos achar:
  1. os ângulos em que as tensões principais ocorrem (θ₁ e θ₂),
  2. os valores dessas tensões principais (σ₁ e σ₂),
  3. a tensão cisalhante máxima (τₘₐₓ).
Pra resolver, vamos usar as fórmulas de transformação de tensões:
  • tan(2θp)=2,τxyσx-σy
  • σ1,2=σx+σy2pmraizl(σx-σy2r)^2+τxy^2
  • τmax=raizl(σx-σy2r)^2+τxy^2

Passo 2

Cálculo do ângulo principal:
  1. Monta a razão
    tan(2θp)=2·5050-0=2.
  2. Acha 2θ_p
    2θp=arctan(2)approx63,43°.
  3. Divide pra ter θ_p
    θp=63,43°2approx31,72°.
Esse é um dos ângulos onde o cisalhamento some; o outro é θp+90°approx121,72°.

Passo 3

Cálculo das tensões principais:
  1. Tensão média
    σmed=σx+σy2=50+02=25,MPa.
  2. Raio (amplitude)
    R=raizl(σx-σy2r)^2+τxy^2 =raiz25^2+50^2 =raiz625+2500 =raiz3125 approx55,90,MPa.
  3. Tensões principais
    σ1=σmed+R=25+55,90approx80,90,MPa
    σ2=σmed-R=25-55,90approx-30,90,MPa

Passo 4

Tensão cisalhante máxima:
Pela teoria, τmax=R, logo
τmaxapprox55,90,MPa.

Resposta

Ângulos principais:
  • θ1approx31,72°,
  • θ2approx121,72°.
Tensões principais:
  • σ1approx80,90,MPa,
  • σ2approx-30,90,MPa.
Tensão cisalhante máxima:
  • τmaxapprox55,90,MPa.

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