Uma fundição produz blocos para motor de caminhões. Os blocos têm furos para as camisas e deseja-se verificar qual é o diâmetro médio no processo do furo. A empresa retirou uma amostra de 36 blocos e mediu os diâmetros de 36 furos (1 a cada bloco). A amostra acusou média de 98.0 mm e desvio padrão de
.
Construir um intervalo de confiança para a variância do processo, com nível de confiança de 99%.
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados que temos (peguei estes números do enunciado):
- Pede: construir um intervalo de confiança para a variância do processo (
), com nível de confiança de . - Dados da amostra:
- tamanho da amostra:
, - média amostral:
(não é usada diretamente para o intervalo da variância), - desvio-padrão amostral:
.
- tamanho da amostra:
- Portanto a variância amostral é
. - Nível de confiança:
.
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática, devagarzinho):
- Para uma amostra de tamanho
retirada de uma população normal (pressuposto padrão para este método), a estatística
segue uma distribuição qui-quadrado com
graus de liberdade. Aqui:
-
é a variância amostral (estimador de ), -
é a variância verdadeira do processo (o que queremos estimar), -
é o número de graus de liberdade. -
Isso permite construir um intervalo de confiança assim:
onde
é o quantil
da distribuição
com
graus de liberdade.
- Isolando
obtemos o intervalo de confiança para a variância:
Explicando em palavras: divide-se
pelos quantis adequados da qui-quadrado; o quantil maior fica no denominador do limite inferior e o quantil menor no denominador do limite superior.
Passo 3
Aplicando a fórmula com os números da amostra:
-
então . -
. - Precisamos dos quantis
e com : - Usando tabela da qui-quadrado (ou calculadora estatística) obtemos aproximadamente
- Usando tabela da qui-quadrado (ou calculadora estatística) obtemos aproximadamente
Passo 4
Calcular os limites do intervalo:
- Limite inferior:
- Limite superior:
Mostrei as divisões de forma que dê para refazer na prova sem calculadora aproximando:
e
.
Passo 5
Interpretação curta e encorajamento:
- Conclusão prática: com
de confiança, a variância verdadeira do diâmetro dos furos está entre aproximadamente e . - Se quiser também o intervalo para o desvio-padrão
, basta tirar raiz nos extremos: . Isso não era pedido, mas ajuda a visualizar.