Uma fundição produz blocos para motor de caminhões. Os blocos têm furos para as camisas e deseja-se verificar qual é o diâmetro médio no processo do furo. A empresa retirou uma amostra de 36 blocos e mediu os diâmetros de 36 furos (1 a cada bloco). A amostra acusou média de 98.0 mm e desvio padrão de 4,0 \mathrm{~mm}.
Construir um intervalo de confiança para a variância do processo, com nível de confiança de 99%.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos (peguei estes números do enunciado):
  • Pede: construir um intervalo de confiança para a variância do processo ( \sigma^{2}), com nível de confiança de 99\%.
  • Dados da amostra:
    • tamanho da amostra: n=36,
    • média amostral: \bar{x}=98{,}0\\ \text{mm} (não é usada diretamente para o intervalo da variância),
    • desvio-padrão amostral: s=4{,}0\\ \text{mm}.
  • Portanto a variância amostral é s^{2}=4{,}0^{2}=16{,}0\\ \text{mm}^{2}.
  • Nível de confiança: 1-\alpha=0{,}99\Rightarrow \alpha=0{,}01.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática, devagarzinho):
  • Para uma amostra de tamanho n retirada de uma população normal (pressuposto padrão para este método), a estatística
\frac{(n-1)S^{2}}{\sigma^{2}}
segue uma distribuição qui-quadrado com \nu=n-1 graus de liberdade. Aqui:
  • S^{2} é a variância amostral (estimador de \sigma^{2}),
  • \sigma^{2} é a variância verdadeira do processo (o que queremos estimar),
  • \nu=n-1 é o número de graus de liberdade.
  • Isso permite construir um intervalo de confiança assim:
P\!\left(\chi^{2}_{\alpha/2,\,\nu}\le \frac{(n-1)S^{2}}{\sigma^{2}}\le \chi^{2}_{1-\alpha/2,\,\nu}\right)=1-\alpha,
onde \chi^{2}_{p,\,\nu} é o quantil p da distribuição \chi^{2} com \nu graus de liberdade.
  • Isolando \sigma^{2} obtemos o intervalo de confiança para a variância:
P\!\left(\frac{(n-1)S^{2}}{\chi^{2}_{1-\alpha/2,\,\nu}}\le \sigma^{2}\le \frac{(n-1)S^{2}}{\chi^{2}_{\alpha/2,\,\nu}}\right)=1-\alpha.
Explicando em palavras: divide-se (n-1)S^{2} pelos quantis adequados da qui-quadrado; o quantil maior fica no denominador do limite inferior e o quantil menor no denominador do limite superior.

Passo 3

Aplicando a fórmula com os números da amostra:
  • n=36 então \nu=n-1=35.
  • (n-1)S^{2}=35\cdot 16{,}0=560{,}0\\ \text{mm}^{2}.
  • Precisamos dos quantis \chi^{2}_{\alpha/2,\,35} e \chi^{2}_{1-\alpha/2,\,35} com \alpha/2=0{,}005:
    • Usando tabela da qui-quadrado (ou calculadora estatística) obtemos aproximadamente \chi^{2}_{0{,}005,\,35}\approx 17{,}13, \qquad \chi^{2}_{0{,}995,\,35}\approx 60{,}34.

Passo 4

Calcular os limites do intervalo:
  • Limite inferior:
\frac{(n-1)S^{2}}{\chi^{2}_{1-\alpha/2,\,\nu}} = \frac{560{,}0}{60{,}34} \approx 9{,}28\\ \text{mm}^{2}.
  • Limite superior:
\frac{(n-1)S^{2}}{\chi^{2}_{\alpha/2,\,\nu}} = \frac{560{,}0}{17{,}13} \approx 32{,}69\\ \text{mm}^{2}.
Mostrei as divisões de forma que dê para refazer na prova sem calculadora aproximando: 560/60{,}34\approx9{,}28 e 560/17{,}13\approx32{,}69.

Passo 5

Interpretação curta e encorajamento:
  • Conclusão prática: com 99\% de confiança, a variância verdadeira do diâmetro dos furos está entre aproximadamente 9{,}28\\ \text{mm}^{2} e 32{,}69\\ \text{mm}^{2}.
  • Se quiser também o intervalo para o desvio-padrão \sigma, basta tirar raiz nos extremos: \sigma\in[\,\sqrt{9{,}28},\,\sqrt{32{,}69}\,]\approx[3{,}05\\ \text{mm},\,5{,}72\\ \text{mm}]. Isso não era pedido, mas ajuda a visualizar.

Resposta

\sigma^{2}\in[\,9{,}28\\ \text{mm}^{2},\;32{,}69\\ \text{mm}^{2}\,] (nível de confiança 99\%).

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