(Exercício 6.1.4 do livro do Reginaldo) Ache para cada matriz A, se possível, uma matriz nãosingular P tal que P^{-1} A P seja diagonal:
\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 2 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 3\end{array}\right);

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}
e pede para encontrar uma matriz não singular P tal que P^{-1}AP seja diagonal.
O conteúdo aqui é diagonalização de matrizes por meio de autovalores e autovetores.

Passo 2

Vamos achar o polinômio característico de A. Calculamos
\det(A - \lambda I) =\det\begin{pmatrix} 1-\lambda & 1 & 2\\\\ 0 & 1-\lambda & 0\\\\ 0 & 1 & 3-\lambda \end{pmatrix} =(1-\lambda)\det\begin{pmatrix}1-\lambda & 0\\\ 1 & 3-\lambda\end{pmatrix} =(1-\lambda)^2(3-\lambda).
Logo os autovalores são \lambda=1 (multiplicidade algébrica 2) e \lambda=3 (multiplicidade 1).

Passo 3

Para \lambda=1 resolvemos (A-I)x=0:
\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2\\\\ 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\end{pmatrix} =0 \;\Longrightarrow\; x_2 + 2x_3 = 0.
Daí x_2=-2x_3 e x_1 livre. Tomamos duas escolhas independentes:
v_1 = \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}, \quad v_2 = \begin{pmatrix}0\\\ -2\\\ 1\end{pmatrix}.
Elas formam uma base do autoespaço de \lambda=1.

Passo 4

Para \lambda=3 resolvemos (A-3I)x=0:
\begin{pmatrix} -2 & 1 & 2\\\\ 0 & -2 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\end{pmatrix} =0 \;\Longrightarrow\; x_2=0,\; -2x_1+2x_3=0\;\Rightarrow\;x_1=x_3.
Um autovetor para \lambda=3 é
v_3 = \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 5

Colocamos v_1,v_2,v_3 como colunas de P:
P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\\\ 0 & -2 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Calculando o determinante, \det P = 1\cdot(-2\cdot1-0\cdot1) = -2 \neq 0, logo P é invertível.

Passo 6

Pelo modo como montamos P, as colunas são autovetores de A. Portanto
P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}.

Resposta

Uma escolha possível é
P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\\\ 0 & -2 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad P^{-1}AP = \operatorname{diag}(1,1,3).

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