(Exercício 6.1.4 do livro do Reginaldo) Ache para cada matriz A, se possível, uma matriz nãosingular P tal que P^{-1} A P seja diagonal:
\left(\begin{array}{rrr}4 & 2 & 3 \\\\ 2 & 1 & 2 \\\\ -1 & -2 & 0\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para diagonalizar a matriz
A = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 3\\\\ 2 & 1 & 2\\\\ -1 & -2 & 0 \end{pmatrix}
ou seja, encontrar uma matriz inversível P tal que P^{-1}AP seja diagonal. O conteúdo que vamos usar é o de autovalores e autovetores de A: primeiro calculamos o polinômio característico, depois os autovetores e, por fim, conferimos se há vetores suficientes para diagonalizar.

Passo 2

Para achar os autovalores, montamos
\det(A - \lambda I) = \begin{vmatrix} 4-\lambda & 2 & 3\\\\ 2 & 1-\lambda & 2\\\\ -1 & -2 & -\lambda \end{vmatrix} =0.
O desenvolvimento leva ao polinômio
\lambda^3 - 5\lambda^2 + 7\lambda - 3 = 0,
cuja fatoração é
(\lambda - 1)^2(\lambda - 3)=0.
Logo, os autovalores são \lambda=1 (multiplicidade algébrica 2) e \lambda=3 (multiplicidade algébrica 1).

Passo 3

Agora achamos os autovetores.
Para \lambda=3, resolvemos (A - 3I)x=0:
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\\\ 2 & -2 & 2\\\\ -1 & -2 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =0.
Dessa forma obtemos, por exemplo, o autovetor
\;v_3=(1,0,-1)^T.
Para \lambda=1, resolvemos (A - I)x=0:
\begin{pmatrix} 3 & 2 & 3\\\\ 2 & 0 & 2\\\\ -1 & -2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =0 \;\Longrightarrow\; x=-z,\;y=0,
ou seja, o espaço próprio é gerado por um único vetor, por exemplo
\;v_1=(-1,0,1)^T.

Passo 4

A multiplicidade geométrica do autovalor \lambda=1 é 1, mas a multiplicidade algébrica é 2. Como não há dois autovetores linearmente independentes para \lambda=1, a matriz A não possui base de autovetores completa e, portanto, não é diagonalizável.

Resposta

Não existe matriz não singular P tal que P^{-1}AP seja diagonal, pois A não é diagonalizável.

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