(Exercício 6.2.1 do livro do Reginaldo) Encontre uma matriz ortogonal P tal que A=P D P^{t}, em que D é uma matriz diagonal, se (Em (b) e (c), veja a Proposição 6.2 e o Exemplo 6.4 do livro do Reginaldo. )
A=\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 1 \\\\ 1 & 2 & 1 \\\\ 1 & 1 & 2\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz simétrica
A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\\\ 1 & 2 & 1 \\\\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}
e pede uma matriz ortogonal P tal que A = P\,D\,P^t, sendo D diagonal. Para isso, usaremos o Teorema espectral para matrizes simétricas: primeiro encontramos os autovalores via polinômio característico, depois escolhemos autovetores ortonormais (Proposição 6.2 do Reginaldo).

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A:
\det(A - \lambda I) =\det\begin{pmatrix} 2-\lambda & 1 & 1\\\\ 1 & 2-\lambda & 1\\\\ 1 & 1 & 2-\lambda \end{pmatrix} =(\lambda-4)(\lambda-1)^2.
Logo os autovalores são
\lambda_1 = 4\quad(\text{multiplicidade }1), \qquad \lambda_2 = \lambda_3 = 1\quad(\text{multiplicidade }2).

Passo 3

Para \lambda_1 = 4 resolvemos (A-4I)x=0, ou seja
\begin{pmatrix} -2 & 1 & 1\\\\ 1 & -2 & 1\\\\ 1 & 1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\end{pmatrix} =0
que leva a x_1 = x_2 = x_3. Um autovetor conveniente é (1,1,1), cuja versão normalizada é
e_1 = \frac{1}{\sqrt{3}}\,(1,1,1).

Passo 4

Para \lambda=1 resolvemos (A - I)x=0, ou seja
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} x = 0 \;\Longrightarrow\; x_1 + x_2 + x_3 = 0.
O subespaço solução tem dimensão 2. Escolhemos dois vetores independentes nele, por exemplo
w_1 = (1,-1,0), \quad w_2 = (1,1,-2).

Passo 5

Aplicamos Gram–Schmidt para obter vetores ortonormais em \{\!x_1+x_2+x_3=0\}:
1. Normalizamos w_1:
\|w_1\| = \sqrt{1^2+(-1)^2+0^2} = \sqrt{2}, \quad e_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}\,(1,-1,0).
2. Projetamos w_2 sobre e_2 e subtraímos:
\langle e_2, w_2\rangle = \frac{1\cdot1 + (-1)\cdot1 +0\cdot(-2)}{\sqrt{2}} = 0,
logo w_2 já é ortogonal a e_2. Normalizando:
\|w_2\| = \sqrt{1^2 +1^2 +(-2)^2} = \sqrt{6}, \quad e_3 = \frac{1}{\sqrt{6}}\,(1,1,-2).

Passo 6

Formamos a matriz ortogonal P cujas colunas são e_1,e_2,e_3, e o bloco diagonal D com os autovalores na mesma ordem:
P = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}}\\[6pt] \frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}}\\[6pt] \frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & -\frac{2}{\sqrt{6}} \end{pmatrix}, \qquad D = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.]

Resposta

A matriz ortogonal P e a diagonal D são
P = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}}\\[4pt] \frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}}\\[4pt] \frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & -\frac{2}{\sqrt{6}} \end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},
de modo que A = P\,D\,P^t.]

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