(Exercício 5.4.3 do livro do Reginaldo) Sejam [P]_{\mathscr{C}} as coordenadas do ponto P com relação à base canônica \mathscr{E}=\left\{\boldsymbol{e}_{1}, \boldsymbol{e}_{2}, \boldsymbol{e}_{3}\right\}=\{\boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k}\} e [P]_{\mathcal{S}} as coordenadas de P com relação ao sistema \mathcal{S}=\left\{\boldsymbol{u}_{1}, \boldsymbol{u}_{2}, \boldsymbol{u}_{3}\right\}. Suponha que a seguinte relação seja válida:
Sabemos da teoria de mudança de base que as colunas de A são exatamente as coordenadas dos vetores \boldsymbol{u}_1,\boldsymbol{u}_2,\boldsymbol{u}_3 (do sistema \mathcal{S}) na base canônica.
Passo 2
Extraímos da primeira coluna de A as coordenadas de \boldsymbol{u}_1 em \mathscr{E}: