(Exercício 5.4.3 do livro do Reginaldo) Sejam [P]_{\mathscr{C}} as coordenadas do ponto P com relação à base canônica \mathscr{E}=\left\{\boldsymbol{e}_{1}, \boldsymbol{e}_{2}, \boldsymbol{e}_{3}\right\}=\{\boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k}\} e [P]_{\mathcal{S}} as coordenadas de P com relação ao sistema \mathcal{S}=\left\{\boldsymbol{u}_{1}, \boldsymbol{u}_{2}, \boldsymbol{u}_{3}\right\}. Suponha que a seguinte relação seja válida:
[P]_{\mathscr{C}}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\\\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{array}\right)[P]_{\mathscr{S}}
Quais são as coordenadas dos vetores \boldsymbol{u}_{1}, \boldsymbol{u}_{2} e \boldsymbol{u}_{3} com relação à base canônica \mathscr{E} ?

Passo 1

O enunciado diz que, para qualquer ponto P, suas coordenadas na base canônica \mathscr{E} e no sistema \mathcal{S} estão relacionadas por
[P]_{\mathscr{C}} = A\,[P]_{\mathcal{S}},
onde
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & \tfrac12 & -\tfrac{\sqrt{3}}2\\\\ 0 & \tfrac{\sqrt{3}}2 & \tfrac12 \end{pmatrix}.
Sabemos da teoria de mudança de base que as colunas de A são exatamente as coordenadas dos vetores \boldsymbol{u}_1,\boldsymbol{u}_2,\boldsymbol{u}_3 (do sistema \mathcal{S}) na base canônica.

Passo 2

Extraímos da primeira coluna de A as coordenadas de \boldsymbol{u}_1 em \mathscr{E}:
[\boldsymbol{u}_1]_{\mathscr{E}} = \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.

Passo 3

Extraímos da segunda coluna de A as coordenadas de \boldsymbol{u}_2 em \mathscr{E}:
\left[\boldsymbol{u}_2\right]_{\mathscr{E}} = \begin{pmatrix}0\\[4pt]\tfrac{1}{2}\\[3pt]\tfrac{\sqrt{3}}{2}\end{pmatrix}.]

Passo 4

Extraímos da terceira coluna de A as coordenadas de \boldsymbol{u}_3 em \mathscr{E}:
\left[\boldsymbol{u}_3\right]_{\mathscr{E}} = \begin{pmatrix}0\\[4pt]-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\\[3pt]\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.]

Resposta

[\boldsymbol{u}_1]_{\mathscr{E}} = \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}, \quad [\boldsymbol{u}_2]_{\mathscr{E}} = \begin{pmatrix}0\\tfrac12\\tfrac{\sqrt{3}}2\end{pmatrix}, \quad [\boldsymbol{u}_3]_{\mathscr{E}} = \begin{pmatrix}0\\\ -\tfrac{\sqrt{3}}2\\tfrac12\end{pmatrix}.

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