Exercício 5 De um lote que contém 20 peças, sabe-se que exatamente 4 são defeituosas. Suponha que em uma inspeção de qualidade, 4 peças sejam selecionadas ao acaso e sem reposição deste lote. Seja X o número de peças defeituosas selecionadas.
(a) Determine a função de probabilidades de X e esboce o seu gráfico;
(b) Qual a probabilidade de que pelo menos 3 peças defeituosas sejam selecionadas?

Passo 1

O enunciado diz que há um lote de 20 peças, das quais 4 são defeituosas, e se extrai uma amostra de 4 peças sem reposição. Definimos X como o número de peças defeituosas na amostra. O conteúdo envolvido é a distribuição hipergeométrica, que nos dá a probabilidade de k “sucessos” (aqui, peças defeituosas) em retiradas sem reposição.

Passo 2

Na distribuição hipergeométrica a função de probabilidade é obtida contando as maneiras de escolher k defeituosas dentre as 4 disponíveis e (4-k) boas dentre as 16 restantes, dividindo pelo total de maneiras de escolher 4 peças dentre 20. Assim,
P(X = k) = binom4k,binom164-kbinom204 para k=0,1,2,3,4

Passo 3

Para esboçar o gráfico de barras da função de probabilidade, calculamos numericamente:
binom204=4845,
P(X=0)=binom40binom1644845 =1cdot18204845approx0,3757,
P(X=1)=binom41binom1634845 =4cdot5604845approx0,4622,
P(X=2)=binom42binom1624845 =6cdot1204845approx0,1486,
P(X=3)=binom43binom1614845 =4cdot164845approx0,0132,
P(X=4)=binom44binom1604845 =1cdot14845approx0,0002
O esboço do gráfico de barras terá no eixo horizontal k=0,1,2,3,4 e no vertical as alturas dadas por esses valores.

Passo 4

A probabilidade de selecionar pelo menos 3 peças defeituosas é
P(X>=3) =P(X=3)+P(X=4) =644845+14845 =654845 =13969 approx0,0134

Resposta

(a) P(X=k)=binom4k,binom164-kbinom204 para k=0,1,2,3,4. Gráfico de barras com alturas approx0,3757,;0,4622,;0,1486,;0,0132,;0,0002 em k=0,1,2,3,4.
(b) P(X>=3)=13969approx0,0134.

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