Exercício 5 (E.M.1.12)
Mostre que em todo espaço métrico
temos
Analogamente, exprima cada bola aberta de
como união de bolas fechadas de
.
Lembremos que
e
Mostre que em todo espaço métrico
Lembremos que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar duas identidades de interseções envolvendo bolas fechadas e abertas num espaço métrico
:
Aqui lembramos que
Depois, devemos escrever cada bola aberta como união de bolas fechadas.
Passo 2
Mostramos primeiro
(\subseteq) Se
então
. Para qualquer
segue
, logo
. Assim
está em toda bola
com
.
(\supseteq) Se pertence a
, então
para todo
. Se por absurdo
, escolhemos
tal que
, o que contradiz
. Logo
e
.
(\supseteq) Se
Passo 3
Como a sequência
satisfaz
, segue imediatamente
Passo 4
Análogo para
. Primeiro
(\subseteq) Se
então
para todo
, logo
sempre.
(\supseteq) Se pertence a
, então
para todo
. Se
então
e tomando
teríamos
, contraditório. Logo
.
(\supseteq) Se
Passo 5
Escolhendo
, vemos facilmente
Passo 6
Finalmente, cada bola aberta de raio
pode ser escrita como união de bolas fechadas de raio menor que
. De fato, se
então
, e podemos tomar
que satisfaz
. Assim
com
. E qualquer
com
está contido em
. Portanto
Em particular, definindo
, obtemos
Resposta
e