Exercício 5 (E.M.1.12)
Mostre que em todo espaço métrico M temos
BR[x] & =capn=1^infty BR+1n[x]=caps>R Bs[x] x & =capr>0 Br(x)=capn=1^infty B1n(x)
Analogamente, exprima cada bola aberta de M como união de bolas fechadas de M.
Lembremos que BR[x]:=y in M ; d(y, x) <= R e BR(x):=y in M ; d(y, x)<R

Passo 1

O enunciado pede para mostrar duas identidades de interseções envolvendo bolas fechadas e abertas num espaço métrico (M,d):
BR[x]=capn=1^inftyBR+tfrac1n[x] =caps>RBs[x], x=capr>0Br(x) =capn=1^inftyBtfrac1n(x)
Aqui lembramos que
BR[x]=yin M : d(y,x)<= R, Br(x)=yin M : d(y,x)<r
Depois, devemos escrever cada bola aberta como união de bolas fechadas.

Passo 2

Mostramos primeiro
BR[x]=caps>RBs[x]
(\subseteq) Se yin BR[x] então d(y,x)<= R. Para qualquer s>R segue d(y,x)<= R<s, logo yin Bs[x]. Assim y está em toda bola Bs[x] com s>R.
(\supseteq) Se y pertence a caps>RBs[x], então d(y,x)<= s para todo s>R. Se por absurdo d(y,x)>R, escolhemos s tal que R<s<d(y,x), o que contradiz d(y,x)<= s. Logo d(y,x)<= R e yin BR[x].

Passo 3

Como a sequência sn=R+tfrac1n satisfaz snsearrow R, segue imediatamente
capn=1^inftyBR+tfrac1n[x] =caps>RBs[x] =BR[x]

Passo 4

Análogo para x. Primeiro
x=capr>0Br(x)
(\subseteq) Se y=x então d(y,x)=0<r para todo r>0, logo xin Br(x) sempre.
(\supseteq) Se y pertence a capr>0Br(x), então d(y,x)<r para todo r>0. Se yneq x então d(y,x)=de<a>0 e tomando r=de<a/2>0 teríamos d(y,x)<de<a/2, contraditório. Logo y=x.

Passo 5

Escolhendo rn=tfrac1n, vemos facilmente
capn=1^inftyBtfrac1n(x) =capr>0Br(x) =x

Passo 6

Finalmente, cada bola aberta de raio R>0 pode ser escrita como união de bolas fechadas de raio menor que R. De fato, se yin BR(x) então d(y,x)<R, e podemos tomar
r=d(y,x)+R2,
que satisfaz d(y,x)<= r<R. Assim yin Br[x] com r<R. E qualquer Br[x] com r<R está contido em BR(x). Portanto
BR(x)=cupr<RBr[x]
Em particular, definindo rn=R-tfrac1n, obtemos
BR(x)=cupn=1^inftyB,R-tfrac1n[x]

Resposta

BR[x] =capn=1^inftyBR+tfrac1n[x] =caps>RBs[x], x =capr>0Br(x) =capn=1^inftyBtfrac1n(x),
e
BR(x) =cupr<RBr[x] =cupn=1^inftyB,R-tfrac1n[x]

Exercícios relacionados