Q 129 Considere a circunferência
(de centro
e raio
) e desenhe a reta normal num ponto arbitrário qualquer (
) dessa curva. Derivando implicitamente, mostre que a normal, em qualquer ponto arbritário (
) da circunferência, passa pelo centro.
Passo 1
O enunciado diz que temos a circunferência de centro em
e raio
, dada por
e pede para mostrar que a reta normal em um ponto qualquer
dessa circunferência passa sempre pelo centro.
Conteúdo que vamos usar: derivada implícita para achar a inclinação da tangente e, a partir dela, a inclinação da normal; depois escrevemos a equação da normal e verificamos que o ponto a satisfaz.
Conteúdo que vamos usar: derivada implícita para achar a inclinação da tangente e, a partir dela, a inclinação da normal; depois escrevemos a equação da normal e verificamos que o ponto
Passo 2
Derivando implicitamente a equação da circunferência em relação a
, temos
Logo, a inclinação da tangente naquele ponto é
Passo 3
A reta normal é perpendicular à tangente, então sua inclinação
é o negativo do inverso da inclinação da tangente:
Passo 4
Escrevendo a equação da reta normal que passa por
com inclinação
, temos
Passo 5
Para mostrar que essa reta passa pelo centro
, basta substituir
e
na equação da normal:
que é verdade. Assim,
pertence à reta normal.
Resposta
A reta normal em qualquer ponto
da circunferência satisfaz a equação
e ao checar
vemos que ela pertence à reta. Portanto, a normal sempre passa pelo centro
.