Q 129 Considere a circunferência x^2+y^2=r^2 (de centro (0,0) e raio r ) e desenhe a reta normal num ponto arbitrário qualquer ( xp, yp ) dessa curva. Derivando implicitamente, mostre que a normal, em qualquer ponto arbritário ( xp, yp ) da circunferência, passa pelo centro.

Passo 1

O enunciado diz que temos a circunferência de centro em (0,0) e raio r, dada por
x^2+y^2=r^2,
e pede para mostrar que a reta normal em um ponto qualquer (xp,yp) dessa circunferência passa sempre pelo centro.
Conteúdo que vamos usar: derivada implícita para achar a inclinação da tangente e, a partir dela, a inclinação da normal; depois escrevemos a equação da normal e verificamos que o ponto (0,0) a satisfaz.

Passo 2

Derivando implicitamente a equação da circunferência em relação a x, temos
ddxl(x^2+y^2r)=ddxl(r^2r) Longrightarrow 2x+2ydydx=0
Logo, a inclinação da tangente naquele ponto é
dydx=-xy

Passo 3

A reta normal é perpendicular à tangente, então sua inclinação mn é o negativo do inverso da inclinação da tangente:
mn=-1(-,x/y)=yx

Passo 4

Escrevendo a equação da reta normal que passa por (xp,yp) com inclinação mn=tfracypxp, temos
y - yp = ypxp,(x - xp)

Passo 5

Para mostrar que essa reta passa pelo centro (0,0), basta substituir x=0 e y=0 na equação da normal:
0 - yp ;=;ypxp,(0 - xp) ;Longrightarrow;-,yp=-,yp,
que é verdade. Assim, (0,0) pertence à reta normal.

Resposta

A reta normal em qualquer ponto (xp,yp) da circunferência satisfaz a equação
y - yp = ypxp,(x - xp),
e ao checar (x,y)=(0,0) vemos que ela pertence à reta. Portanto, a normal sempre passa pelo centro (0,0).

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