Q 131 Seja y=f(x) uma função definida implicitamente pela equação sec ^2(x+y)-cos ^2(x+y)=0. Determine y^prime.

Passo 1

O enunciado dá uma função y=f(x) definida implicitamente pela equação
sec^2(x+y)-cos^2(x+y)=0
e pede y'=dydx. Vamos usar álgebra trigonométrica para resolver a equação e depois diferenciar a expressão obtida.

Passo 2

Chame u = x+y. A equação fica
sec^2u - cos^2u = 0
Como sec^2u = 1cos^2u, temos
1cos^2u - cos^2u = 0
Multiplicando por cos^2u (não nulo nos pontos de interesse), obtemos
1 - cos^4u = 0 Longrightarrow cos^4u = 1

Passo 3

Da igualdade cos^4u=1 segue cos^2u=1, logo cos u=pm1. Portanto
u = x + y = kpi,
onde k é inteiro.

Passo 4

Isolando y vem
y = kpi - x
Como k é constante, ao derivar em relação a x obtemos
y' = ddx(kpi - x) = -1

Resposta

y' = -1

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