Exercício 6 (E.M.1.17)
Seja (
) um espaço métrico. Mostre que se
, então existe
tal que
.
Seja (
Passo 1
O enunciado considera um espaço métrico
, um ponto
e a bola fechada de raio
centrada em
,
Diz que um ponto
não pertence a essa bola, ou seja,
, e pede para mostrar que existe um raio
tal que
O conteúdo usado será a definição de bola fechada e a desigualdade triangular em espaços métricos.
Passo 2
Como
, por definição de bola fechada temos
Passo 3
Definimos
Note que
pois subtraímos de
um valor
menor que ele próprio.
Passo 4
Vamos mostrar que nenhum ponto
pode estar simultaneamente em
e em
. Se
, então
. A desigualdade triangular dá
Como
e
, segue
Logo
, o que impede
de pertencer a
. Portanto
Resposta
Basta tomar