Exercício 6 (E.M.1.17)
Seja ( M, d ) um espaço métrico. Mostre que se y notin BR[x], então existe s>0 tal que BR[x] cap Bs[y]=emptyset.

Passo 1

O enunciado considera um espaço métrico (M,d), um ponto xin M e a bola fechada de raio R>0 centrada em x,
BR[x]=,zin Mmid d(x,z)<= R
Diz que um ponto yin M não pertence a essa bola, ou seja, ynotin BR[x], e pede para mostrar que existe um raio s>0 tal que
BR[x]cap Bs[y]=emptyset
O conteúdo usado será a definição de bola fechada e a desigualdade triangular em espaços métricos.

Passo 2

Como ynotin BR[x], por definição de bola fechada temos
d(x,y)>R

Passo 3

Definimos
s = d(x,y) - R
Note que s>0 pois subtraímos de d(x,y) um valor R menor que ele próprio.

Passo 4

Vamos mostrar que nenhum ponto z pode estar simultaneamente em BR[x] e em Bs[y]. Se zin BR[x], então d(x,z)<= R. A desigualdade triangular dá
d(z,y)>= d(x,y)-d(x,z)
Como d(x,z)<= R e d(x,y)-R=s, segue
d(z,y)>= d(x,y)-d(x,z)>d(x,y)-R=s
Logo d(z,y)>s, o que impede z de pertencer a Bs[y]. Portanto
BR[x]cap Bs[y]=emptyset

Resposta

Basta tomar
s = d(x,y) - R

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