Exercício 2 (E.M.1.2)
Mostre que
definida por
não é uma métrica.
Mostre que
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede para mostrar que
não é uma métrica. Lembrando que uma métrica deve satisfazer três axiomas:
- não-negatividade e definitude:
e se e só se ; - simetria:
; - desigualdade triangular:
para todos .
Passo 2
Verificamos a não-negatividade e a definitude. Como
para todo
e
se e somente se
, o primeiro axioma está satisfeito.
Passo 3
Verificamos a simetria. Temos
então o segundo axioma também vale.
Passo 4
Tentamos a desigualdade triangular. Para isso precisamos que, para todos
,
Mas basta o contraexemplo
,
,
:
e
é falso. Logo a desigualdade triangular falha.
Resposta
A função
não é métrica em
porque não satisfaz a desigualdade triangular.