Exercício 2 (E.M.1.2)
Mostre que d: R times R [0, infty[ definida por d(x, y)=(x-y)^2 não é uma métrica.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
dcolon RtimesRto [0,infty[, d(x,y) = (x - y)^2,
e pede para mostrar que d não é uma métrica. Lembrando que uma métrica deve satisfazer três axiomas:
  1. não-negatividade e definitude: d(x,y)>=0 e d(x,y)=0 se e só se x=y;
  2. simetria: d(x,y)=d(y,x);
  3. desigualdade triangular: d(x,z)<= d(x,y)+d(y,z) para todos x,y,z.

Passo 2

Verificamos a não-negatividade e a definitude. Como
d(x,y)=(x-y)^2>=0
para todo x,y e (x-y)^2=0 se e somente se x=y, o primeiro axioma está satisfeito.

Passo 3

Verificamos a simetria. Temos
d(x,y)=(x-y)^2=(y-x)^2=d(y,x),
então o segundo axioma também vale.

Passo 4

Tentamos a desigualdade triangular. Para isso precisamos que, para todos x,y,z,
d(x,z)<= d(x,y)+d(y,z)
Mas basta o contraexemplo x=0, y=1, z=2:
d(0,2)=(0-2)^2=4, d(0,1)+d(1,2)=1^2+1^2=2,
e 4<=2 é falso. Logo a desigualdade triangular falha.

Resposta

A função d(x,y)=(x-y)^2 não é métrica em R porque não satisfaz a desigualdade triangular.

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