Exercício 1 (E.M.1.1)
Seja
uma função tal que
a)
.
b)
Prove que
é uma métrica.
Seja
a)
b)
Passo 1
O enunciado define uma função
que satisfaz
(a) ,
(b) para todos
.
Queremos mostrar que é métrica, isto é, que satisfaz os quatro axiomas:
. não-negatividade,
. identidade de indiscerníveis,
. simetria,
. desigualdade triangular.
(a)
(b)
Queremos mostrar que
Passo 2
Verificamos rapidamente três desses axiomas:
– Não-negatividade: como o contradomínio é , temos sempre
.
– Identidade de indiscerníveis: dado pela condição (a), pois .
– Desigualdade triangular: dada diretamente pela condição (b), que é
– Não-negatividade: como o contradomínio é
– Identidade de indiscerníveis: dado pela condição (a), pois
– Desigualdade triangular: dada diretamente pela condição (b), que é
Passo 3
Falta provar a simetria, isto é, que
. Usamos (b) com escolha adequada de variáveis:
– Tomando em (b) ,
fixo, obtemos
– Tomando em (b)
– Permutando
e
na mesma desigualdade, temos
Combinar as duas desigualdades dá
isto é, a simetria desejada.
Passo 4
Agora
satisfaz:
.
,
.
,
.
,
.
.
Logo,
é de fato uma métrica em
.
Resposta
Olhando os quatro axiomas de métrica e usando as hipóteses (a) e (b), concluímos que
satisfaz todas as propriedades e, portanto, é uma métrica em
.