Exercício 1 (E.M.1.1)
Seja d: M times M [0, infty[ uma função tal que
a) d(x, y)=0 Long<=ftrightarrow x=y.
b) d(x, z) <= d(x, y)+d(z, y)
Prove que d é uma métrica.

Passo 1

O enunciado define uma função
dcolon Mtimes Mto [0,infty[
que satisfaz
(a) d(x,y)=0 iff x=y,
(b) d(x,z) <= d(x,y)+d(z,y) para todos x,y,z in M.
Queremos mostrar que d é métrica, isto é, que satisfaz os quatro axiomas:
1. não-negatividade,
2. identidade de indiscerníveis,
3. simetria,
4. desigualdade triangular.

Passo 2

Verificamos rapidamente três desses axiomas:
– Não-negatividade: como o contradomínio é [0,infty[, temos sempre d(x,y) >= 0.
– Identidade de indiscerníveis: dado pela condição (a), pois d(x,y)=0 iff x=y.
– Desigualdade triangular: dada diretamente pela condição (b), que é
d(x,z) <= d(x,y)+d(z,y)

Passo 3

Falta provar a simetria, isto é, que d(x,y)=d(y,x). Usamos (b) com escolha adequada de variáveis:
– Tomando em (b) z=x, y fixo, obtemos
d(x,y)<= d(x,x)+d(y,x)=0+d(y,x)=d(y,x)
– Permutando x e y na mesma desigualdade, temos
d(y,x)<= d(y,y)+d(x,y)=0+d(x,y)=d(x,y)
Combinar as duas desigualdades dá
d(x,y)=d(y,x),
isto é, a simetria desejada.

Passo 4

Agora d satisfaz:
1. d(x,y)>=0,
2. d(x,y)=0iff x=y,
3. d(x,y)=d(y,x),
4. d(x,z)<= d(x,y)+d(z,y).
Logo, d é de fato uma métrica em M.

Resposta

Olhando os quatro axiomas de métrica e usando as hipóteses (a) e (b), concluímos que d satisfaz todas as propriedades e, portanto, é uma métrica em M.

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