Exercício 5 (Matemática). Sejam
e
subconjuntos de
. Verifique que
;
Passo 1
O enunciado dá que
e
são subconjuntos de
com
. Pede para verificar (ou seja, provar) que
Resumo do que é pedido:
- Mostrar que os dois conjuntos do lado esquerdo e direito são iguais.
- Informação dada:
, e . (Aqui o fato de não será usado na prova, mas foi declarado no enunciado.)
Passo 2
Como vamos provar igualdade entre conjuntos, o método escolhido é o padrão e mais básico: prova por dupla inclusão. Ou seja, mostrar primeiro
e depois
Explicação rápida do porquê: dois conjuntos são iguais se e somente se cada um está contido no outro. Este método é elementar e direto, ideal para provas em prova de faculdade.
Passo 3
Mini-aula rápida sobre as operações de conjuntos que vamos usar (cada expressão será explicada em linguagem de pertencimento de elementos).
- União:
. Aqui significa “ou” (inclusive). - Interseção:
. Aqui significa “e”. - Complemento (relativo a
): significa . - Diferença:
.
Estas equivalências são a tradução entre linguagem de conjuntos e lógica proposicional para elementos. Vamos usá-las passo a passo.
Passo 4
Provar
.
Seja
um elemento tal que
.
Pelo significado de interseção, isto quer dizer que
Pelo significado de interseção, isto quer dizer que
Pelo significado de complemento,
equivale a
Pelo significado de união,
equivale a
Mas já sabemos que
. Logo, da disjunção
só pode ser verdadeira a parte
. Portanto concluímos
Pelo significado de diferença, isso é exatamente
. Como
foi um elemento arbitrário de
, segue que
Passo 5
Provar
.
Seja
tal que
.
Pelo significado de diferença, temos
Pelo significado de diferença, temos
Da primeira parte
segue imediatamente
(porque todo elemento de
pertence à união
).
Da segunda parte segue
.
Portanto temos e
, isto é,
.
Como foi arbitrário, obtemos
Da segunda parte
Portanto temos
Como
Passo 6
Juntando as duas inclusões dos passos anteriores:
segue que os conjuntos são iguais. Portanto
Observação final: outra maneira de ver isso (intuitivamente) é pensar no diagrama de Venn ou usar a identidade distributiva
com
; fazendo
e lembrando que
dá
, que é
. Mas a prova por elemento (mostrada acima) é a mais direta para uma prova formal.