Exercício 5 (Matemática). Sejam A e B subconjuntos de S \neq \emptyset. Verifique que
(A \cup B) \cap B^{c}=A \backslash B;

Passo 1

O enunciado dá que A e B são subconjuntos de S com S \neq \emptyset. Pede para verificar (ou seja, provar) que
(A \cup B) \cap B^{c}=A \backslash B.
Resumo do que é pedido:
  • Mostrar que os dois conjuntos do lado esquerdo e direito são iguais.
  • Informação dada: A\subseteq S, B\subseteq S e S\neq\emptyset. (Aqui o fato de S\neq\emptyset não será usado na prova, mas foi declarado no enunciado.)

Passo 2

Como vamos provar igualdade entre conjuntos, o método escolhido é o padrão e mais básico: prova por dupla inclusão. Ou seja, mostrar primeiro
(A \cup B) \cap B^{c} \subseteq A \backslash B
e depois
A \backslash B \subseteq (A \cup B) \cap B^{c}.
Explicação rápida do porquê: dois conjuntos são iguais se e somente se cada um está contido no outro. Este método é elementar e direto, ideal para provas em prova de faculdade.

Passo 3

Mini-aula rápida sobre as operações de conjuntos que vamos usar (cada expressão será explicada em linguagem de pertencimento de elementos).
  • União: x\in A\cup B \iff x\in A \lor x\in B. Aqui \lor significa “ou” (inclusive).
  • Interseção: x\in A\cap B \iff x\in A \land x\in B. Aqui \land significa “e”.
  • Complemento (relativo a S): x\in B^{c} significa x\notin B.
  • Diferença: x\in A\backslash B \iff x\in A \land x\notin B.
    Estas equivalências são a tradução entre linguagem de conjuntos e lógica proposicional para elementos x. Vamos usá-las passo a passo.

Passo 4

Provar (A \cup B) \cap B^{c} \subseteq A \backslash B.
Seja x um elemento tal que x\in (A\cup B)\cap B^{c}.
Pelo significado de interseção, isto quer dizer que
x\in A\cup B \quad\text{e}\quad x\in B^{c}.
Pelo significado de complemento, x\in B^{c} equivale a
x\notin B.
Pelo significado de união, x\in A\cup B equivale a
x\in A \lor x\in B.
Mas já sabemos que x\notin B. Logo, da disjunção x\in A \lor x\in B só pode ser verdadeira a parte x\in A. Portanto concluímos
x\in A \quad\text{e}\quad x\notin B.
Pelo significado de diferença, isso é exatamente x\in A\backslash B. Como x foi um elemento arbitrário de (A\cup B)\cap B^{c}, segue que
(A \cup B) \cap B^{c} \subseteq A \backslash B.

Passo 5

Provar A \backslash B \subseteq (A \cup B) \cap B^{c}.
Seja x tal que x\in A\backslash B.
Pelo significado de diferença, temos
x\in A \quad\text{e}\quad x\notin B.
Da primeira parte x\in A segue imediatamente x\in A\cup B (porque todo elemento de A pertence à união A\cup B).
Da segunda parte x\notin B segue x\in B^{c}.
Portanto temos x\in A\cup B e x\in B^{c}, isto é, x\in (A\cup B)\cap B^{c}.
Como x foi arbitrário, obtemos
A \backslash B \subseteq (A \cup B) \cap B^{c}.

Passo 6

Juntando as duas inclusões dos passos anteriores:
(A \cup B) \cap B^{c} \subseteq A \backslash B \quad\text{e}\quad A \backslash B \subseteq (A \cup B) \cap B^{c},
segue que os conjuntos são iguais. Portanto
(A \cup B) \cap B^{c}=A \backslash B.
Observação final: outra maneira de ver isso (intuitivamente) é pensar no diagrama de Venn ou usar a identidade distributiva (X\cup Y)\cap Z = (X\cap Z)\cup(Y\cap Z) com Z=B^c; fazendo (A\cap B^c)\cup(B\cap B^c) e lembrando que B\cap B^c=\emptyset A\cap B^c, que é A\backslash B. Mas a prova por elemento (mostrada acima) é a mais direta para uma prova formal.

Resposta

(A \cup B) \cap B^{c}=A \backslash B

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