Exercício 3.6. Em \mathbb{R}^{3}, \operatorname{sejam} \mathcal{B}=\left\{e_{1}, e_{2}, e_{3}\right\} a base canônica e \mathcal{C}=\{(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)\}. (a) Determine M_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}}. (b) Determine M_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}} (a inversa).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados:
    • A base canônica \mathcal{B}=\{e_{1},e_{2},e_{3}\} em \mathbb{R}^3.
    • A base \mathcal{C}=\{v_{1},v_{2},v_{3}\} com v_{1}=(1,0,0),\qquad v_{2}=(1,1,0),\qquad v_{3}=(1,1,1).
  • Pedidos:
    • (a) Determinar M_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}}.
    • (b) Determinar M_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}} (a inversa de M_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}}).

Passo 2

Explicação do que é M_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}} (sem resolver ainda): essa matriz é a matriz de mudança de coordenadas que transforma coordenadas relativas à base \mathcal{C} em coordenadas relativas à base \mathcal{B}. Uma forma prática e muito usada é:
  • Colocar como colunas de M_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}} as coordenadas, em relação à base \mathcal{B}, dos vetores de \mathcal{C}.
Como \mathcal{B} é a base canônica, as coordenadas de um vetor em relação a \mathcal{B} são exatamente as componentes do vetor. Portanto as colunas de M_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}} serão v_{1},v_{2},v_{3} (cada um escrito como coluna).

Passo 3

Construção explícita de M_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}}. Colocando v_{1},v_{2},v_{3} como colunas:
M_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Comentário didático: essa matriz é triangular superior com todos os elementos diagonais iguais a 1. Ela envia um vetor de coordenadas [x]_{\mathcal{C}}=(\xi_1,\xi_2,\xi_3)^\top para o vetor em coordenadas canônicas [x]_{\mathcal{B}} = M_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}}[\xi]. Por exemplo, se [\xi]=(1,0,0)^\top então [x]_{\mathcal{B}} = v_1, etc.]

Passo 4

Agora vamos achar M_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}=(M_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}})^{-1}. Método escolhido (simples e confiável): resolver sistemas A X = I coluna a coluna, onde A=M_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}}. Como A é triangular superior com uns na diagonal, dá para usar substituição regressiva (back-substitution) de forma direta e sem contas complicadas.
Escrevendo A e o vetor coluna desconhecido x=(x_1,x_2,x_3)^\top, o sistema A x = e_i (onde e_i é a i-ésima coluna da identidade) resulta num pequeno sistema triangular fácil de resolver.

Passo 5

Resolver as três colunas de [X=A^{-1}) uma a uma.
  1. Para a primeira coluna: resolver A x = e_1, isto é
\begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 = 1,\\[4pt] x_2 + x_3 = 0,\\[4pt] x_3 = 0. \end{cases}
Da última equação x_3=0\]. Então \[x_2=0. Então x_1=1. Logo a primeira coluna de A^{-1} é (1,0,0)^\top.
  1. Para a segunda coluna: resolver A x = e_2, isto é
\begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 = 0,\\[4pt] x_2 + x_3 = 1,\\[4pt] x_3 = 0. \end{cases}
Da última x_3=0\]. Da segunda \[x_2=1. Da primeira x_1 = -1. Então a segunda coluna é (-1,1,0)^\top.
  1. Para a terceira coluna: resolver A x = e_3, isto é
\begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 = 0,\\[4pt] x_2 + x_3 = 0,\\[4pt] x_3 = 1. \end{cases}
Da última x_3=1\]. Da segunda \(x_2=-1. Da primeira x_1=0. Então a terceira coluna é (0,-1,1)^\top.]

Passo 6

Montando A^{-1} com as colunas encontradas:
M_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}} = (M_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}})^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Verificação rápida (didática): multiplicando A por essa matriz obtém-se a matriz identidade, por exemplo a primeira linha de A vezes as colunas de A^{-1} (1,0,0), etc. Isso confirma que é de fato a inversa.]

Resposta

M_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}}=\displaystyle\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\\[4pt]0 & 1 & 1\\[4pt]0 & 0 & 1\end{pmatrix}
M_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}=\displaystyle\begin{pmatrix}1 & -1 & 0\\[4pt]0 & 1 & -1\\[4pt]0 & 0 & 1\end{pmatrix}]

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