Exercício 3.6. Em \mathbb{R}^{3}, \operatorname{sejam} \mathcal{B}=\left\{e_{1}, e_{2}, e_{3}\right\} a base canônica e \mathcal{C}=\{(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)\}. (a) Determine M_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}}. (b) Determine M_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}} (a inversa).
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados:
A base canônica \mathcal{B}=\{e_{1},e_{2},e_{3}\} em \mathbb{R}^3.
A base \mathcal{C}=\{v_{1},v_{2},v_{3}\} comv_{1}=(1,0,0),\qquad v_{2}=(1,1,0),\qquad v_{3}=(1,1,1).
Pedidos:
(a) Determinar M_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}}.
(b) Determinar M_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}} (a inversa de M_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}}).
Passo 2
Explicação do que é M_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}} (sem resolver ainda): essa matriz é a matriz de mudança de coordenadas que transforma coordenadas relativas à base \mathcal{C} em coordenadas relativas à base \mathcal{B}. Uma forma prática e muito usada é:
Colocar como colunas de M_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}} as coordenadas, em relação à base \mathcal{B}, dos vetores de \mathcal{C}.
Como \mathcal{B} é a base canônica, as coordenadas de um vetor em relação a \mathcal{B} são exatamente as componentes do vetor. Portanto as colunas de M_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}} serão v_{1},v_{2},v_{3} (cada um escrito como coluna).
Passo 3
Construção explícita de M_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}}. Colocando v_{1},v_{2},v_{3} como colunas:
Comentário didático: essa matriz é triangular superior com todos os elementos diagonais iguais a 1. Ela envia um vetor de coordenadas [x]_{\mathcal{C}}=(\xi_1,\xi_2,\xi_3)^\top para o vetor em coordenadas canônicas [x]_{\mathcal{B}} = M_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}}[\xi]. Por exemplo, se [\xi]=(1,0,0)^\top então [x]_{\mathcal{B}} = v_1, etc.]
Passo 4
Agora vamos achar M_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}=(M_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}})^{-1}. Método escolhido (simples e confiável): resolver sistemas A X = I coluna a coluna, onde A=M_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}}. Como A é triangular superior com uns na diagonal, dá para usar substituição regressiva (back-substitution) de forma direta e sem contas complicadas.
Escrevendo A e o vetor coluna desconhecido x=(x_1,x_2,x_3)^\top, o sistema A x = e_i (onde e_i é a i-ésima coluna da identidade) resulta num pequeno sistema triangular fácil de resolver.
Passo 5
Resolver as três colunas de [X=A^{-1}) uma a uma.
Para a primeira coluna: resolver A x = e_1, isto é
Verificação rápida (didática): multiplicando A por essa matriz obtém-se a matriz identidade, por exemplo a primeira linha de A vezes as colunas de A^{-1} dá (1,0,0), etc. Isso confirma que é de fato a inversa.]