Exercício 3.7. Seja
a transformação linear que rotaciona vetores em
no sentido anti-horário. Encontre a matriz que representa
na base
.
Passo 1
O enunciado dá:
- A transformação linear
que rotaciona vetores em no sentido anti-horário. - A base
.
O que se pede:
- Encontrar a matriz que representa
na base (ou seja, a matriz de cujas colunas são as coordenadas de dos vetores da base , escritas na base ).
Informações relevantes dadas:
- Vetor base
. - Vetor base
. - A ação de
sobre um vetor é a rotação de anti-horário (detalhes práticos sobre isso serão mostrados nos passos seguintes).
Passo 2
Entender a ação de
em coordenadas usuais (canônicas). A rotação de
no sentido anti-horário transforma
em
. Isso vem da geometria: o eixo
vai para o eixo
positivo, e o eixo
vai para o eixo
negativo.
Escrevendo como matriz na base canônica:
pois
Agora aplico
aos vetores da base
:
Passo 3
Para obter a matriz de
Faço isso para
. Resolvo o sistema
Somando as duas equações vem
. Substituindo,
. Portanto as coordenadas de
na base
são
Agora para
. Resolvo
Somando dá
e então
. Assim
Passo 4
A matriz de
na base
tem colunas iguais às coordenadas encontradas acima (primeira coluna = coordenadas de
, segunda coluna = coordenadas de
). Assim obtemos a matriz
Passo 5
Verificação alternativa usando mudança de base (checar consistência). Seja
a matriz cujas colunas são os vetores da base
na base canônica:
A fórmula de mudança de base diz
Calculo
. O determinante de
é
. Logo
Agora compute
:
Multiplicando por
:
que coincide com o resultado do passo anterior. Boa — as duas abordagens concordam.]