Exercício 3.7. Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} a transformação linear que rotaciona vetores em 90^{\circ} no sentido anti-horário. Encontre a matriz que representa T na base \mathcal{C}=\{(1,1),(1,-1)\}.

Passo 1

O enunciado dá:
  • A transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 que rotaciona vetores em 90^\circ no sentido anti-horário.
  • A base \mathcal{C}=\{(1,1),(1,-1)\}.
O que se pede:
  • Encontrar a matriz que representa T na base \mathcal{C} (ou seja, a matriz de T cujas colunas são as coordenadas de T dos vetores da base \mathcal{C}, escritas na base \mathcal{C}).
Informações relevantes dadas:
  • Vetor base c_1=(1,1).
  • Vetor base c_2=(1,-1).
  • A ação de T sobre um vetor (x,y) é a rotação de 90^\circ anti-horário (detalhes práticos sobre isso serão mostrados nos passos seguintes).

Passo 2

Entender a ação de T em coordenadas usuais (canônicas). A rotação de 90^\circ no sentido anti-horário transforma (x,y) em (-y,x). Isso vem da geometria: o eixo x vai para o eixo y positivo, e o eixo y vai para o eixo x negativo.
Escrevendo como matriz na base canônica:
[T]_{\text{can}} = \begin{pmatrix} 0 & -1\\[4pt] 1 & 0 \end{pmatrix},
pois
\begin{pmatrix}0 & -1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-y\\[2pt]x\end{pmatrix}.
Agora aplico T aos vetores da base \mathcal{C}:
T(c_1)=T(1,1)=(-1,1), \qquad T(c_2)=T(1,-1)=(1,1).]

Passo 3

Para obter a matriz de T\) em \(\mathcal{C}\), preciso escrever \(T(c_1)\) e \(T(c_2)\) como combinações lineares dos vetores da base \(\mathcal{C}\). Ou seja, achar coordenadas \((\alpha,\beta)\) tais que \[\alpha(1,1)+\beta(1,-1)=\text{imagem desejada}.
Faço isso para T(c_1)=(-1,1). Resolvo o sistema
\begin{cases} \alpha+\beta = -1,\\[4pt] \alpha-\beta = 1. \end{cases}
Somando as duas equações vem 2\alpha=0\], logo \[\alpha=0. Substituindo, \beta=-1. Portanto as coordenadas de T(c_1) na base \mathcal{C} são
[T(c_1)]_{\mathcal{C}} = \begin{pmatrix}0\\[2pt]-1\end{pmatrix}.
Agora para T(c_2)=(1,1). Resolvo
\begin{cases} \alpha+\beta = 1,\\[4pt] \alpha-\beta = 1. \end{cases}
Somando dá 2\alpha=2\], logo \(\alpha=1 e então \beta=0. Assim
[T(c_2)]_{\mathcal{C}} = \begin{pmatrix}1\\[2pt]0\end{pmatrix}.]

Passo 4

A matriz de T na base \mathcal{C} tem colunas iguais às coordenadas encontradas acima (primeira coluna = coordenadas de T(c_1), segunda coluna = coordenadas de T(c_2)). Assim obtemos a matriz
[T]_{\mathcal{C}} = \begin{pmatrix} 0 & 1\\[4pt] -1 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Verificação alternativa usando mudança de base (checar consistência). Seja P a matriz cujas colunas são os vetores da base \mathcal{C} na base canônica:
P = \begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix}.
A fórmula de mudança de base diz
[T]_{\mathcal{C}} = P^{-1}\,[T]_{\text{can}}\,P.
Calculo P^{-1}. O determinante de P é \det(P)=1\cdot(-1)-1\cdot1=-2. Logo
P^{-1}=\frac{1}{-2}\begin{pmatrix}-1 & -1\\[4pt]-1 & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\\[4pt]\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.
Agora compute [T]_{\text{can}}P:
[T]_{\text{can}}P = \begin{pmatrix}0 & -1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 & 1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}.
Multiplicando por P^{-1}:
P^{-1}([T]_{\text{can}}P) = \begin{pmatrix}\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\\[4pt]\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-1 & 1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]-1 & 0\end{pmatrix},
que coincide com o resultado do passo anterior. Boa — as duas abordagens concordam.]

Resposta

\begin{pmatrix} 0 & 1\\[4pt] -1 & 0 \end{pmatrix}]

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