Exercício 2. ( 2,0 \mathrm{pts} ) Determine os três últimos dígitos de 9^{2025}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar os três últimos dígitos de 9^{2025}.
Informações dadas e relevantes: 9^{2025} é a potência a avaliar; “três últimos dígitos” significa equivalência módulo 1000. Também é útil notar que 1000 = 8 \cdot 125. Não há mais informações no enunciado.

Passo 2

Escolha do caminho (explicado de forma curta antes de começar a conta): trabalhar módulo 1000 diretamente é difícil; por isso vamos usar que 1000 se fatora em 8 e 125 que são coprimos. Calcularemos 9^{2025} módulo 8 e módulo 125 separadamente e depois combinamos os resultados usando o Teorema Chinês dos Restos (CRT). Vou explicar cada conceito quando aparecer.
Breve explicação do CRT (útil para a prova): se temos x\equiv a\pmod{m} e x\equiv b\pmod{n} com \gcd(m,n)=1, existe uma única solução x modulo mn. Então achar o número módulo 1000 reduz-se a achar as congruências módulo 8 e 125.

Passo 3

Cálculo de 9^{2025} módulo 8.
Primeiro, simplificamos a base módulo 8: 9 \equiv 1 \pmod{8} porque 9-1=8 é múltiplo de 8.
Se 9\equiv1\pmod{8} então, para qualquer inteiro positivo k, 9^k \equiv 1^k \equiv 1 \pmod{8}.
Portanto
9^{2025} \equiv 1 \pmod{8}.

Passo 4

Cálculo de 9^{2025} módulo 125.
Motivação: 125=5^3 e \gcd(9,125)=1, então podemos usar o Teorema de Euler para reduzir o expoente. Vou explicar o Teorema de Euler de forma simples: se \gcd(a,m)=1, então a^{\varphi(m)}\equiv1\pmod{m}, onde \varphi(m) é a função totiente de Euler (número de inteiros entre 1 e m coprimos com m).
Calculamos \varphi(125). Para 125=5^3,
\varphi(125) = 125\left(1-\frac{1}{5}\right) = 125\cdot\frac{4}{5} = 100.
Pelo Teorema de Euler:
9^{100} \equiv 1 \pmod{125}.
Logo podemos reduzir o expoente 2025 módulo 100. Calculamos 2025 \bmod 100:
2025 = 20\cdot 100 + 25 \quad\Rightarrow\quad 2025 \equiv 25 \pmod{100}.
Assim
9^{2025} \equiv 9^{25} \pmod{125}.
Agora precisamos calcular 9^{25} módulo 125.

Passo 5

Cálculo explícito de 9^{25}\pmod{125}, passo a passo (cada multiplicação reduzida para caber sem calculadora):
Começamos com potências pequenas e reduzimos módulo 125 em cada passo.
9^1 \equiv 9 \pmod{125}.
9^2 \equiv 9\cdot9 = 81 \pmod{125}.
9^3 \equiv 81\cdot9 = 729.
Reduzindo 729 módulo 125: 125\cdot5=625, 729-625=104. Logo
9^3 \equiv 104 \pmod{125}.
9^4 \equiv 104\cdot9 = 936.
Reduzindo 936: 125\cdot7=875, 936-875=61. Logo
9^4 \equiv 61 \pmod{125}.
9^5 \equiv 61\cdot9 = 549.
Reduzindo 549: 125\cdot4=500, 549-500=49. Logo
9^5 \equiv 49 \pmod{125}.
Agora podemos usar essas potências para alcançar 9^{25}. Uma estratégia rápida é obter 9^{10}, depois 9^{20} e multiplicar por 9^5.
Calcule 9^{10} = (9^5)^2:
9^{10} \equiv 49^2 = 2401.
Reduzindo 2401 módulo 125: 125\cdot19=2375, 2401-2375=26. Então
9^{10} \equiv 26 \pmod{125}.
Calcule 9^{20} = (9^{10})^2:
9^{20} \equiv 26^2 = 676.
Reduzindo 676: 125\cdot5=625, 676-625=51. Logo
9^{20} \equiv 51 \pmod{125}.
Finalmente, 9^{25} = 9^{20}\cdot 9^5:
9^{25} \equiv 51\cdot49 = 2499.
Reduzindo 2499 módulo 125: 125\cdot19=2375, 2499-2375=124. Assim
9^{25} \equiv 124 \pmod{125}.
Portanto
9^{2025} \equiv 124 \pmod{125}.

Passo 6

Resumo das duas congruências obtidas:
9^{2025} \equiv 1 \pmod{8},
9^{2025} \equiv 124 \pmod{125}.
Agora precisamos combinar essas duas informações com CRT para obter o valor módulo 1000.

Passo 7

Aplicando o Teorema Chinês dos Restos (CRT) para achar x tal que
x \equiv 124 \pmod{125},\qquad x \equiv 1 \pmod{8}.
Escrevemos x = 124 + 125k para algum inteiro k. Impomos a segunda condição módulo 8. Primeiro reduzimos coeficientes módulo 8:
124 \equiv 4 \pmod{8}\quad(\text{porque }124=8\cdot15+4),
125 \equiv 5 \pmod{8}\quad(\text{porque }125=8\cdot15+5).
Então a condição x\equiv1\pmod{8} vira
4 + 5k \equiv 1 \pmod{8}.
Subtraindo 4: 5k \equiv -3 \pmod{8}. Como -3\equiv5\pmod{8}, temos
5k \equiv 5 \pmod{8}.
Agora precisamos do inverso de 5 módulo 8. Observamos que 5\cdot5=25\equiv1\pmod{8}, então o inverso de 5 é 5. Multiplicando ambos os lados por 5:
k \equiv 5\cdot5 \equiv 25 \equiv 1 \pmod{8}.
Logo k \equiv 1 \pmod{8}. A menor escolha é k=1. Tomando k=1,
x = 124 + 125\cdot1 = 249.
Verificação rápida: 249 \bmod 125 = 124 e 249 \bmod 8 = 1. Como a solução é única módulo 1000, concluímos que
9^{2025} \equiv 249 \pmod{1000}.

Resposta

249

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