Exercício 1. (2,0 pts) Mostre, usando congruências, que para todo
, a expressão
é múltiplo de 21 .
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para todo
, a quantidade
é múltiplo de
.
Informações dadas/condições: é um inteiro com
. Queremos provar que
divide
, isto é,
Informações dadas/condições:
Não há outras informações externas; vamos trabalhar com congruências módulo
e usar propriedades básicas de aritmética modular.
Passo 2
Breve aula rápida sobre congruências (sem pular etapas).
Definição: para inteiros e
, dizemos que
se
divide
. Equivalente:
para algum inteiro
.
Propriedades que usaremos:
Definição: para inteiros
Propriedades que usaremos:
- Se
e , então e . (Ou seja, podemos somar e multiplicar congruências.) - Se
então, para qualquer inteiro , . (Isso vem de multiplicar por si mesmo vezes.) - Se
e são coprimos ( ) e um número é múltiplo de e de , então ele é múltiplo de . Aplicaremos isso com e .
Vou ilustrar com um exemplo curto: se
então
.
Passo 3
Estratégia: mostrar que
é múltiplo de
e também múltiplo de
. Como
e
são primos distintos (logo coprimos) e
, isso garante que é múltiplo de
.
Primeiro trabalhemos módulo
.
Passo 4
Cálculo módulo
. Observações:
logo, usando a propriedade de exponenciação,
Mas
. Portanto
Como
para todo
, temos
Agora
, então
Subtraindo as congruências,
Conclusão parcial:
divide
para todo
.
Passo 5
Agora trabalhemos módulo
.
Observe que
ou seja,
Elevando ambos os lados à potência
(propriedade de potenciação em congruências),
Portanto
Conclusão parcial:
divide
para todo
.
Passo 6
Combinação das duas conclusões. Encontramos que
e
Isto significa que
é múltiplo de
e de
. Como
, segue que
é múltiplo de
. Esta é uma aplicação direta da propriedade: se um inteiro é divisível por dois inteiros coprimos, então é divisível pelo produto.
Passo 7
Verificação do caso
(por completude): para
temos
, e
é divisível por qualquer inteiro, inclusive por
. Portanto a propriedade também vale para
, consistente com a prova acima.
Resposta
Para todo
,
é múltiplo de
.