Exercício 1. (2,0 pts) Mostre, usando congruências, que para todo n \geq 0, a expressão 5^{2 n}-4^{n} é múltiplo de 21 .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo n\geq 0, a quantidade 5^{2n}-4^{n} é múltiplo de 21.
Informações dadas/condições: n é um inteiro com n\geq 0. Queremos provar que 21 divide 5^{2n}-4^{n}, isto é,
5^{2n}-4^{n}\equiv 0 \pmod{21}.
Não há outras informações externas; vamos trabalhar com congruências módulo 21 e usar propriedades básicas de aritmética modular.

Passo 2

Breve aula rápida sobre congruências (sem pular etapas).
Definição: para inteiros a,b e m\ge 1, dizemos que a\equiv b\pmod{m} se m divide a-b. Equivalente: a-b = km para algum inteiro k.
Propriedades que usaremos:
  1. Se a\equiv b\pmod{m} e c\equiv d\pmod{m}, então a+c\equiv b+d\pmod{m} e ac\equiv bd\pmod{m}. (Ou seja, podemos somar e multiplicar congruências.)
  2. Se a\equiv b\pmod{m} então, para qualquer inteiro r\ge 0, a^{r}\equiv b^{r}\pmod{m}. (Isso vem de multiplicar a\equiv b por si mesmo r vezes.)
  3. Se m_1 e m_2 são coprimos ( \gcd(m_1,m_2)=1) e um número é múltiplo de m_1 e de m_2, então ele é múltiplo de m_1m_2. Aplicaremos isso com m_1=3 e m_2=7.
Vou ilustrar com um exemplo curto: se a\equiv 2\pmod{3} então a^2\equiv 2^2\equiv 4\equiv 1\pmod{3}.

Passo 3

Estratégia: mostrar que 5^{2n}-4^{n} é múltiplo de 3 e também múltiplo de 7. Como 3 e 7 são primos distintos (logo coprimos) e 3\cdot 7=21, isso garante que é múltiplo de 21.
Primeiro trabalhemos módulo 3.

Passo 4

Cálculo módulo 3. Observações:
5\equiv 2 \pmod{3},
logo, usando a propriedade de exponenciação,
5^{2n}\equiv 2^{2n}\pmod{3}.
Mas 2^{2}=4\equiv 1\pmod{3}. Portanto
2^{2n}=(2^2)^n\equiv 1^n \pmod{3}.
Como 1^n=1 para todo n\ge 0, temos
5^{2n}\equiv 1 \pmod{3}.
Agora 4\equiv 1\pmod{3}, então
4^{n}\equiv 1^{n}\equiv 1 \pmod{3}.
Subtraindo as congruências,
5^{2n}-4^{n}\equiv 1-1\equiv 0 \pmod{3}.
Conclusão parcial: 3 divide 5^{2n}-4^{n} para todo n\ge 0.

Passo 5

Agora trabalhemos módulo 7.
Observe que
5^{2} = 25 \equiv 25-21 = 4 \pmod{7},
ou seja,
5^{2}\equiv 4 \pmod{7}.
Elevando ambos os lados à potência n (propriedade de potenciação em congruências),
5^{2n}=(5^{2})^{n}\equiv 4^{n}\pmod{7}.
Portanto
5^{2n}-4^{n}\equiv 4^{n}-4^{n}\equiv 0 \pmod{7}.
Conclusão parcial: 7 divide 5^{2n}-4^{n} para todo n\ge 0.

Passo 6

Combinação das duas conclusões. Encontramos que
5^{2n}-4^{n}\equiv 0 \pmod{3}
e
5^{2n}-4^{n}\equiv 0 \pmod{7}.
Isto significa que 5^{2n}-4^{n} é múltiplo de 3 e de 7. Como \gcd(3,7)=1, segue que 5^{2n}-4^{n} é múltiplo de 3\cdot 7=21. Esta é uma aplicação direta da propriedade: se um inteiro é divisível por dois inteiros coprimos, então é divisível pelo produto.

Passo 7

Verificação do caso n=0 (por completude): para n=0 temos 5^{0}-4^{0}=1-1=0, e 0 é divisível por qualquer inteiro, inclusive por 21. Portanto a propriedade também vale para n=0, consistente com a prova acima.

Resposta

Para todo n\ge 0, 5^{2n}-4^{n} é múltiplo de 21.

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