Resolva o PVI em cada item de forma que a solução seja contínua em todo domínio \left(1+x^{2}\right) y^{\prime}+2 x y=Q(x), onde Q(x)=\left\{\begin{array}{l}x, \text { se } 0 \leqslant x \leqslant 1 \text { e } y(0)=0 \\\\ -x, \text { se } x>1\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com termo fonte em pedaços
e a condição inicial \,y(0)=0.
O que se pede: obter a solução do problema de valor inicial (PVI) em cada intervalo e escolher as constantes de integração de modo que a solução seja contínua em todo o domínio (isto é, em x\ge 0 dado que o enunciado define Q para x\ge0).
Informações relevantes listadas:
equação linear de 1ª ordem;
condição inicial em x=0;
Q(x) muda em x=1, portanto devemos resolver em dois trechos: 0\le x\le1 e x>1;
devemos impor continuidade em x=1.]
Passo 2
Colocamos a equação na forma padrão de uma equação linear de 1ª ordem dividindo por 1+x^{2} (que nunca é zero):
y'+\frac{2x}{1+x^{2}}\,y=\frac{Q(x)}{1+x^{2}}.
Aqui a função de coeficiente é \displaystyle p(x)=\frac{2x}{1+x^{2}} e o termo independente é \displaystyle g(x)=\frac{Q(x)}{1+x^{2}}. A técnica padrão é usar um fator integrante \mu(x) tal que \mu'(x)=\mu(x)p(x). Depois disso o lado esquerdo se torna a derivada de \mu(x)y.
Agora precisamos determinar C_{2}. A exigência do enunciado é que a solução seja contínua em todo o domínio; em particular em x=1 as duas expressões (a do lado esquerdo e a do lado direito) devem coincidir. Calculamos o valor à esquerda (limite pela esquerda) usando a fórmula do Passo 4:
y(1^{-})=\frac{1^{2}}{2(1+1^{2})}=\frac{1}{4}.
Exigimos y(1^{+})=y(1^{-})=\tfrac14. Usando a fórmula geral para x>1 em x=1:
Em x=0 a fórmula do primeiro trecho dá y(0)=0, ok.
Em x=1 ambas as fórmulas dão y(1)=\tfrac14, logo a solução é contínua em x=1.
Observação: a derivada pode ter descontinuidade em x=1 porque Q(x) tem salto em sua derivada (ou seja, Q muda de sinal), mas o enunciado exigia apenas continuidade da solução, condição que cumprimos.
Resposta
Para 0\le x\le 1:\quad y=\dfrac{x^{2}}{2(1+x^{2})}.
Para x>1:\quad y=\dfrac{2-x^{2}}{2(1+x^{2})}.