Resolva o PVI em cada item de forma que a solução seja contínua em todo domínio
\left(1+x^{2}\right) y^{\prime}+2 x y=Q(x), onde Q(x)=\left\{\begin{array}{l}x, \text { se } 0 \leqslant x \leqslant 1 \text { e } y(0)=0 \\\\ -x, \text { se } x>1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com termo fonte em pedaços
(1+x^{2})y'+2xy=Q(x),
onde
Q(x)=\begin{cases} x, & 0\le x\le 1,\\[4pt] -x, & x>1, \end{cases}
e a condição inicial \,y(0)=0.
O que se pede: obter a solução do problema de valor inicial (PVI) em cada intervalo e escolher as constantes de integração de modo que a solução seja contínua em todo o domínio (isto é, em x\ge 0 dado que o enunciado define Q para x\ge0).
Informações relevantes listadas:
  • equação linear de 1ª ordem;
  • condição inicial em x=0;
  • Q(x) muda em x=1, portanto devemos resolver em dois trechos: 0\le x\le1 e x>1;
  • devemos impor continuidade em x=1.]

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão de uma equação linear de 1ª ordem dividindo por 1+x^{2} (que nunca é zero):
y'+\frac{2x}{1+x^{2}}\,y=\frac{Q(x)}{1+x^{2}}.
Aqui a função de coeficiente é \displaystyle p(x)=\frac{2x}{1+x^{2}} e o termo independente é \displaystyle g(x)=\frac{Q(x)}{1+x^{2}}. A técnica padrão é usar um fator integrante \mu(x) tal que \mu'(x)=\mu(x)p(x). Depois disso o lado esquerdo se torna a derivada de \mu(x)y.

Passo 3

Calculamos o fator integrante:
\mu(x)=\exp\!\left(\int p(x)\,dx\right)=\exp\!\left(\int\frac{2x}{1+x^{2}}\,dx\right).
Fazendo a integral interna:
\int\frac{2x}{1+x^{2}}\,dx=\ln(1+x^{2})+C,
portanto podemos escolher
\mu(x)=e^{\ln(1+x^{2})}=1+x^{2}.
Observação didática: isso é conveniente porque \frac{d}{dx}(1+x^{2})=2x, e então
\frac{d}{dx}\big[(1+x^{2})y\big]=(1+x^{2})y'+2xy,
que é exatamente o lado esquerdo da equação original. Assim a equação se reescreve compactamente como
\frac{d}{dx}\big[(1+x^{2})y\big]=Q(x).

Passo 4

Agora integramos a expressão obtida em cada trecho do domínio.
Para 0\le x\le 1 temos Q(x)=x. Integrando
\frac{d}{dx}\big[(1+x^{2})y\big]=x
obtemos (integrando ambos os lados em x)
(1+x^{2})y=\int x\,dx + C = \frac{x^{2}}{2}+C.
Usamos a condição inicial y(0)=0. Substituindo x=0:
(1+0) \cdot 0 = \frac{0^{2}}{2}+C \quad\Rightarrow\quad C=0.
Portanto, para 0\le x\le 1 a solução é
(1+x^{2})y=\frac{x^{2}}{2}\quad\Rightarrow\quad y=\frac{x^{2}}{2(1+x^{2})}.
Comentário didático: essa expressão é bem definida para todo x (exceto que aqui a usamos só até x=1), e satisfaz a condição inicial por construção.

Passo 5

Para x>1 temos Q(x)=-x. Integramos a mesma forma:
\frac{d}{dx}\big[(1+x^{2})y\big]=-x
e obtemos
(1+x^{2})y=\int -x\,dx + C_{2} = -\frac{x^{2}}{2}+C_{2}.
Agora precisamos determinar C_{2}. A exigência do enunciado é que a solução seja contínua em todo o domínio; em particular em x=1 as duas expressões (a do lado esquerdo e a do lado direito) devem coincidir. Calculamos o valor à esquerda (limite pela esquerda) usando a fórmula do Passo 4:
y(1^{-})=\frac{1^{2}}{2(1+1^{2})}=\frac{1}{4}.
Exigimos y(1^{+})=y(1^{-})=\tfrac14. Usando a fórmula geral para x>1 em x=1:
(1+1^{2})y(1)= -\frac{1^{2}}{2}+C_{2} \quad\Rightarrow\quad 2\cdot y(1)= -\frac{1}{2}+C_{2}.
Substituindo y(1)=\tfrac14:
2\cdot\frac{1}{4} = -\frac{1}{2}+C_{2} \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}+C_{2}.
Resolvendo para C_{2}:
C_{2}=1.
Assim, para x>1 temos
(1+x^{2})y=-\frac{x^{2}}{2}+1=\frac{2-x^{2}}{2},
ou seja
y=\frac{2-x^{2}}{2(1+x^{2})}.

Passo 6

Fazemos uma verificação rápida:
  • Em x=0 a fórmula do primeiro trecho dá y(0)=0, ok.
  • Em x=1 ambas as fórmulas dão y(1)=\tfrac14, logo a solução é contínua em x=1.
    Observação: a derivada pode ter descontinuidade em x=1 porque Q(x) tem salto em sua derivada (ou seja, Q muda de sinal), mas o enunciado exigia apenas continuidade da solução, condição que cumprimos.

Resposta

Para 0\le x\le 1:\quad y=\dfrac{x^{2}}{2(1+x^{2})}.
Para x>1:\quad y=\dfrac{2-x^{2}}{2(1+x^{2})}.

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