EXERCÍCIO 6: (0,25pt) A partir do valor da energia para as órbitas estacionárias, Eq.(??), mostre que a diferença entre dois níveis consecutivos é dado por \Delta E=\hbar \omega. (Dica: Utilize
os níveis n e n+1, de modo que \Delta E=E_{n+1}-E_{n} ). Na próxima seção veremos que esse resultado possibilitará reproduzir teoricamente o resultado experimental para a emissão de radiação por um corpo negro.

Passo 1

O enunciado pede que eu mostre que a diferença entre dois níveis consecutivos de energia é \Delta E=\hbar \omega. Ele nos dá (pela referência à “energia para as órbitas estacionárias, Eq.(??)”) a expressão para a energia dos níveis quantizados. Vou assumir a forma usual usada para os osciladores/órbitas estacionárias:
E_n = n\,\hbar\omega,
onde n é um número inteiro n=0,1,2,\dots. A tarefa é calcular
\Delta E = E_{n+1}-E_n.

Passo 2

Antes de mexer nas contas, vamos entender o que cada símbolo significa (para você chegar confiante na prova):
  • n é o índice do nível de energia: n é um inteiro não-negativo que identifica o nível.
  • \hbar é a constante de Planck reduzida, definida por \hbar = \dfrac{h}{2\pi}. É uma constante fundamental que aparece quando quantizamos energia e momento.
  • \omega é a frequência angular associada ao oscilador (relacionada com a frequência usual \nu por \omega = 2\pi \nu).
    A ideia física: cada transição entre níveis consecutivos envolve a emissão ou absorção de um “quanto” de energia cuja magnitude é essa diferença \Delta E.

Passo 3

Calculo explicitamente E_{n+1} substituindo n+1 na fórmula dada:
E_{n+1} = (n+1)\,\hbar\omega.

Passo 4

Agora faço a diferença pedida:
\Delta E = E_{n+1}-E_n = (n+1)\,\hbar\omega - n\,\hbar\omega.
Faço a fatoração/remoção de termos semelhantes: ambos os termos têm o fator \hbar\omega, então
\Delta E = \hbar\omega\bigl((n+1)-n\bigr).

Passo 5

Simplificando (n+1)-n = 1, obtemos
\Delta E = \hbar\omega.
Observação didática importante: se a expressão de energia tivesse um termo constante adicional (por exemplo E_n=\hbar\omega(n+\tfrac{1}{2}), que aparece no oscilador harmônico quântico), esse termo constante cancela na diferença entre níveis consecutivos, e o resultado continua sendo \Delta E=\hbar\omega. Ou seja, o espaçamento entre níveis é independente de um deslocamento constante na energia.

Passo 6

Interpretação rápida para a prova (estou aqui te motivando): esse resultado diz que cada transição entre níveis consecutivos leva a uma perda/ganho de energia igual a \hbar\omega. É exatamente essa ideia de “quantos” de energia que Planck usou para explicar a radiação do corpo negro: os osciladores do corpo negro só podem trocar energia em pacotes de tamanho \hbar\omega, e isso muda sobremaneira a distribuição de energia entre modos, reproduzindo a lei experimental.

Resposta

\hbar\omega

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