EXERCÍCIO 6: (0,25pt) A partir do valor da energia para as órbitas estacionárias, Eq.(??), mostre que a diferença entre dois níveis consecutivos é dado por
. (Dica: Utilize
os níveis
e
, de modo que
). Na próxima seção veremos que esse resultado possibilitará reproduzir teoricamente o resultado experimental para a emissão de radiação por um corpo negro.
os níveis
Passo 1
O enunciado pede que eu mostre que a diferença entre dois níveis consecutivos de energia é
. Ele nos dá (pela referência à “energia para as órbitas estacionárias, Eq.(??)”) a expressão para a energia dos níveis quantizados. Vou assumir a forma usual usada para os osciladores/órbitas estacionárias:
onde
é um número inteiro
. A tarefa é calcular
Passo 2
Antes de mexer nas contas, vamos entender o que cada símbolo significa (para você chegar confiante na prova):
-
é o índice do nível de energia: é um inteiro não-negativo que identifica o nível. -
é a constante de Planck reduzida, definida por . É uma constante fundamental que aparece quando quantizamos energia e momento. -
é a frequência angular associada ao oscilador (relacionada com a frequência usual por ).
A ideia física: cada transição entre níveis consecutivos envolve a emissão ou absorção de um “quanto” de energia cuja magnitude é essa diferença.
Passo 3
Calculo explicitamente
substituindo
na fórmula dada:
Passo 4
Agora faço a diferença pedida:
Faço a fatoração/remoção de termos semelhantes: ambos os termos têm o fator
, então
Passo 5
Simplificando
, obtemos
Observação didática importante: se a expressão de energia tivesse um termo constante adicional (por exemplo
, que aparece no oscilador harmônico quântico), esse termo constante cancela na diferença entre níveis consecutivos, e o resultado continua sendo
. Ou seja, o espaçamento entre níveis é independente de um deslocamento constante na energia.
Passo 6
Interpretação rápida para a prova (estou aqui te motivando): esse resultado diz que cada transição entre níveis consecutivos leva a uma perda/ganho de energia igual a
. É exatamente essa ideia de “quantos” de energia que Planck usou para explicar a radiação do corpo negro: os osciladores do corpo negro só podem trocar energia em pacotes de tamanho
, e isso muda sobremaneira a distribuição de energia entre modos, reproduzindo a lei experimental.