Exercício 3 - Uma mistura de
de
,
de
e
de inerte, composição em peso, alimenta um reator PFR operando a
. A vazão de alimentação é
. A reação é reversível com constantes cinéticas iguais a
e
, para os sentidos direto e indireto, respectivamente. Calcule o volume do PFR para uma conversão de
.
Dados:
Inerte
Resposta:
litros
Passo 1
O enunciado dá uma alimentação gasosa com composição em massa:
de
,
de
e
inerte; a mistura entra num reator PFR a
e
com vazão volumétrica de
. A reação é reversível, presumivelmente
isto é, uma estequiometria
(um mol de
+ um mol de
formam um mol de
). As constantes cinéticas dadas são para o sentido direto (
) e inverso (
). Pedem o volume do PFR para uma conversão de
(presumimos que é a conversão de
, que é o reagente limitante em mol). Dados de massas molares (usadas para converter percentagem em massa para fração molar):
,
,
. A resposta final pedida é o volume do reator.
Informações relevantes listadas para usar na resolução:
- Temperatura
. - Pressão
. - Vazão volumétrica de alimentação
(no estado de operação do reator). - Composição em massa:
, , . - Massas molares numéricas:
, , (unidades compatíveis entre si). - Constantes cinéticas:
, . - Conversão desejada
(definida como ). - Reação estequiométrica:
com coeficientes estequiométricos (produto formado a partir de 1 mol de e 1 mol de ).
A resolução numérica começará no Passo 2.
Passo 2
Objetivo matemático e equações fundamentais que vamos usar.
Explicação teórica curta e necessária:
- Para um PFR a regime estacionário a equação de balanço molar para o reagente
é
onde
é vazão molar de
(kmol/h),
volume do reator (m^3) e
é a velocidade volumétrica de consumo de
(kmol/m^3·h). Para a reação
e definindo a velocidade de reação (direção direta positiva para formação de
) por
temos que o consumo de
é
. Portanto
- Usando a definição de conversão
e uma base de alimentação, e . Substituindo,
Esta é a fórmula de projeto que vamos usar: precisamos expressar
em função de
.
- Em gases ideais a concentração total
é constante quando o reator opera a e constantes. A concentração de cada espécie é , onde é o fluxo molar total no ponto considerado. Assim
ou, simplificando,
- As relações estequiométricas em função de
(com ) são:
- Logo teremos
como função explícita de e podemos integrar numericamente a expressão
Na próxima etapa calculamos os parâmetros numéricos (frações molares iniciais,
,
) e montamos a integral numérica.
Passo 3
Converter a composição em massa para frações molares e obter as vazões molares iniciais.
Explicação didática passo-a-passo sobre conversão peso → mol:
- A fração molar de uma espécie obtida a partir da fração em massa
é
pois
é proporcional ao número de mols relativos por unidade de massa.
Cálculos:
Somando:
Logo as frações molares iniciais são
Agora a vazão molar total de entrada
pela equação dos gases ideais:
Usamos
,
,
,
. Calculando:
As vazões molares iniciais individuais são
:
Também calculamos a concentração molar total (kmol/m^3) no reator (constante porque
fixos):
Passo 4
Escrever
com os números; fatorizar constantes para eficiência numérica.
Recordando a fórmula:
Calculamos constantes numéricas:
Substituímos as expressões em
:
Portanto, para qualquer
sabemos computar
Na prática, para integrar
vamos avaliar numericamente
em pontos de
entre
e
e fazer uma integração (Simpson), explicando a técnica.
Passo 5
Explicação da técnica numérica (Simpson) e escolha de malha.
Breve explicação didática: Simpson é uma regra de integração numérica que aproxima a integral por parábolas em subintervalos de tamanho
. Para
subintervalos (
par ) e
,
Escolhi
subintervalos no intervalo
, logo
. Isso é uma discretização razoável para obter precisão suficiente manualmente.
Nosso integrando é
. Vou calcular
e
em
.
Passo 6
Cálculo numérico de
e
nos pontos da malha (detalhando as contas).
Para cada ponto calculo
e então
.
-
:
-
:
-
:
-
:
-
:
-
:
-
:
(Observação: os valores de
foram obtidos aplicando a fórmula do Passo 4 e mantendo precisão suficiente para integração manual; os recálculos intermediários estão explícitos para que na prova você repita estes passos com calma.)
Passo 7
Aplicar a regra de Simpson para aproximar a integral
.
Dados
e os valores
:
Regra de Simpson (n=6):
Calculando somas:
Substituindo:
Calculando o parêntese:
Então
Portanto a integral aproximada é
(unidade:
quando multiplicada por
dá
).
Passo 8
Calcular o volume do PFR usando
.
Temos
e
. Assim
Converter para litros:
.
Comentário encorajador: deu um volume de aproximadamente
. Se precisar de maior precisão, faça a integração com mais subdivisões; o procedimento e as etapas são as mesmas. Se você na prova tiver pouco tempo, pode usar 3 a 4 pontos bem escolhidos e regra de Simpson para obter um valor suficientemente bom.