Exercício 4 - Uma reação de primeira ordem \mathrm{A} \rightarrow \\mathrm{B} deverá ser realizada em um PFR. A concentração inicial de A é de 3 moles / \mathrm{l}, a constante da taxa é de 0,23 \mathrm{~min}^{-1} e a vazão volumétrica de alimentação é de 101 / \mathrm{min}.
Calcule o volume do reator para se chegar a uma conversão de 60 \%.

Passo 1

O enunciado pede: calcular o volume do reator PFR necessário para atingir uma conversão de 60\% na reação de primeira ordem \mathrm{A}\rightarrow\mathrm{B}.
Dados fornecidos:
C_{A0}=3\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}
k=0{,}23\\ \mathrm{min^{-1}}
v_0=101\\ \mathrm{L\\ min^{-1}}
X=60\%=0{,}60

Passo 2

Começamos pela equação de balanço molar para um PFR em regime estacionário, sem acúmulo de fase:
\frac{dF_A}{dV}=-r_A,
onde F_A é o fluxo molar de A (em \mathrm{mol\\ min^{-1}}), V é o volume do reator (em \mathrm{L}) e r_A é a taxa de consumo de A (em \mathrm{mol\\ L^{-1}\\ min^{-1}}).

Passo 3

Explico as variáveis e relações úteis:
  • O fluxo molar de alimentação de A é F_{A0}=v_0 C_{A0}.
  • Definimos conversão X por
X=\frac{C_{A0}-C_A}{C_{A0}},
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C_A=C_{A0}(1-X).
  • Para reação de primeira ordem, a velocidade de consumo é
-r_A=k C_A.
Essas relações são fundamentais: C_A diminui com a conversão e a taxa é proporcional a C_A.

Passo 4

Substituímos tudo na equação do PFR e mudamos a variável para a conversão X. Temos
V=F_{A0}\int_{0}^{X}\frac{dX}{-r_A}.
Como -r_A=kC_A=kC_{A0}(1-X) e F_{A0}=v_0 C_{A0}, obtemos
V=v_0 C_{A0}\int_{0}^{X}\frac{dX}{k C_{A0}(1-X)}.
Os C_{A0} se cancelam:
V=\frac{v_0}{k}\int_{0}^{X}\frac{dX}{1-X}.

Passo 5

A integral é simples:
\int_{0}^{X}\frac{dX}{1-X}=-\ln(1-X)\Big|_{0}^{X}=-\ln(1-X)-\big(-\ln(1-0)\big)=-\ln(1-X).
Portanto a fórmula final para o volume do PFR é
V=\frac{v_0}{k}\big(-\ln(1-X)\big)=\frac{v_0}{k}\ln\!\bigg(\frac{1}{1-X}\bigg).
Interpretação física rápida: quanto maior a vazão v_0 ou menor a constante k, maior o volume necessário; a dependência com X é logarítmica.

Passo 6

Agora substituímos os valores numéricos:
\frac{v_0}{k}=\frac{101}{0{,}23} \\ \mathrm{L} = 439{,}1304348\\ \mathrm{L}.
Calculemos o logaritmo:
1-X=1-0{,}60=0{,}40,
\frac{1}{1-X}=\frac{1}{0{,}40}=2{,}5,
\ln\!\bigg(\frac{1}{1-X}\bigg)=\ln(2{,}5)\approx 0{,}91629073.

Passo 7

Multiplicando:
V=\frac{v_0}{k}\ln\!\bigg(\frac{1}{1-X}\bigg)\approx 439{,}1304348\times 0{,}91629073 \\ \mathrm{L}.
Fazendo a conta:
V\approx 402{,}4\\ \mathrm{L}.

Resposta

402{,}4\\ \mathrm{L}

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