Uma folha não condutora 1 infinitamente grande carregada positivamente tem densidade de carga superficial uniforme \sigma=+130,0 \mathrm{nC} / \mathrm{m}^{2} e está localizado no plano x z no sistema de coordenadas Cartesiano. Uma folha plana infinitamente grande carregado positivamente não condutora 2 tem densidade de carga superficial uniforme \sigma_{2}=+90,0 \mathrm{nC} / \mathrm{m}^{2} e intercepta o plano x z eixo z, fazendo um ângulo de 30^{\circ} com a folha 1 .
a) Desenhe um diagrama mostrando a vista final das folhas no plano x y.
b) Determine a expressão para o campo elétrico na região entre as folhas para os valores positivos de x e y.
c) Calcule o valor do campo elétrico no ponto (\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(3 \mathrm{~m}, 1 \mathrm{~m}, 0).

Passo 1

O enunciado trata do cálculo do campo elétrico gerado por duas folhas infinitas não condutoras carregadas positivamente, usando superposição. Folha 1 está no plano y=0 com densidade \sigma_{1}=+130{,}0\times10^{-9}\,\mathrm{C/m^{2}}. A folha 2 intercepta o eixo z e faz ângulo de 30^\circ com a folha 1, tendo densidade \sigma_{2}=+90{,}0\times10^{-9}\,\mathrm{C/m^{2}}. Vamos usar a fórmula do campo de uma folha infinita
E_{\text{folha}}=\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}
em cada lado da folha, apontando para fora se \sigma>0, e somar vetorialmente as contribuições.

Passo 2

Vista final no plano xy: coloque o eixo x horizontal e o eixo y vertical.
A folha 1 aparece como a reta y=0 (o próprio eixo x).
A folha 2 aparece como a reta que passa pela origem e faz ângulo de 30^\circ com o eixo x.
A região entre as folhas para x>0 e y>0 é o setor delimitado por essas duas retas no primeiro quadrante.

Passo 3

Campo gerado pela folha 1 em y>0:
a magnitude é
E_{1}=\frac{\sigma_{1}}{2\varepsilon_{0}}
e, como \sigma_{1}>0, o vetor aponta para +y. Logo
\mathbf{E}_{1}=\frac{\sigma_{1}}{2\varepsilon_{0}}\,\hat{\jmath}.

Passo 4

Campo gerado pela folha 2 na região interna ao setor x>0,y>0:
a magnitude é
E_{2}=\frac{\sigma_{2}}{2\varepsilon_{0}}
e o vetor aponta perpendicular à folha, para dentro do setor. A normal unitária da folha 2, girando a normal \hat{\jmath} de 30^\circ em torno de z, é
\hat{n}_{2}=(\sin30^\circ)\,\hat{\imath}+(\cos30^\circ)\,\hat{\jmath} =\tfrac12\,\hat{\imath}+\tfrac{\sqrt3}{2}\,\hat{\jmath}.
Portanto
\mathbf{E}_{2} =\frac{\sigma_{2}}{2\varepsilon_{0}}\Bigl(\tfrac12\,\hat{\imath}+\tfrac{\sqrt3}{2}\,\hat{\jmath}\Bigr).

Passo 5

Superpondo \mathbf{E}=\mathbf{E}_{1}+\mathbf{E}_{2} obtemos para a região entre as folhas
\mathbf{E} =\underbrace{\frac{\sigma_{2}}{4\varepsilon_{0}}}_{\displaystyle E_x}\,\hat{\imath} +\underbrace{\Bigl(\frac{\sigma_{1}}{2\varepsilon_{0}} +\frac{\sigma_{2}\,\sqrt3}{4\varepsilon_{0}}\Bigr)}_{\displaystyle E_y}\,\hat{\jmath}.

Passo 6

Substituindo numericamente \sigma_{1}=130\times10^{-9}\,\mathrm{C/m^2}, \sigma_{2}=90\times10^{-9}\,\mathrm{C/m^2} e \varepsilon_{0}=8{,}85\times10^{-12}\,\mathrm{C^2/(N\cdot m^2)}:
E_x =\frac{90\times10^{-9}}{4\cdot8{,}85\times10^{-12}} \approx2{,}54\times10^{3}\,\mathrm{V/m},
E_y =\frac{130\times10^{-9}}{2\cdot8{,}85\times10^{-12}} +\frac{90\times10^{-9}\,\sqrt3}{4\cdot8{,}85\times10^{-12}} \approx1{,}17\times10^{4}\,\mathrm{V/m}.
Como o campo é uniforme na região entre folhas, o valor no ponto (3,1,0) é o mesmo.

Resposta

(a) No plano xy, desenha-se o eixo x horizontal y=0 e a reta que faz 30^\circ com ele, ambas passando pela origem. A região entre as folhas é o setor do primeiro quadrante limitado por essas retas.
(b)
\mathbf{E} =\frac{\sigma_{2}}{4\varepsilon_{0}}\,\hat{\imath} +\Bigl(\frac{\sigma_{1}}{2\varepsilon_{0}} +\frac{\sigma_{2}\sqrt3}{4\varepsilon_{0}}\Bigr)\,\hat{\jmath}.
(c)
\mathbf{E}(3,1,0) \approx(2{,}54\times10^{3}\,\hat{\imath} +1{,}17\times10^{4}\,\hat{\jmath})\;\mathrm{V/m}.

Exercícios relacionados