Exercício 2 - Um modelo tradicional para suspensão veicular é o chamado
de carro. Uma versão simplificada deste pode ser dada pela equação:
sendo
a massa de
de carro,
e
são os coeficientes de amortecimento e rigidez da suspensão veicular respectivamente.
e
representam o deslocamento, velocidade e aceleração verticais do carro, enquanto
e
são o deslocamento e velocidade impostos ao pneu do veículo. Uma bancada didática foi construída para representar este tipo de sistema com
e
. Supondo ainda uma condição inicial tal que
metros, e
, e considerando que o veículo está subindo em uma calçada de 10 cm de altura, tal que a entrada possa ser modelada por
(onde
é a função degrau unitário). Pede-se:
a) Calcule a expressão de
nas condições fornecidas utilizando a transformada de Laplace; .
b) Analise a expressão calculada na letra a) e entenda em que nível de deslocamento
o carro estabiliza seu movimento após passar pela calçada (se quiser entender melhor o comportamento de
você pode esboçar um gráfico dessa resposta).
a) Calcule a expressão de
b) Analise a expressão calculada na letra a) e entenda em que nível de deslocamento
Passo 1
O enunciado descreve um sistema massa-mola-amortecedor (modelo 1/4 de carro) governado por
com
,
,
, condição inicial
,
e entrada degrau
.
Conteúdo: solução de EDO linear com transformada de Laplace, aplicação de condições iniciais e decomposição em frações parciais.
Conteúdo: solução de EDO linear com transformada de Laplace, aplicação de condições iniciais e decomposição em frações parciais.
Passo 2
Aplicamos a transformada de Laplace nos dois lados, lembrando
Isso dá
Passo 3
Reúnindo termos em
e isolando, obtemos
Escrevendo o numerador como
temos
Passo 4
Fazendo frações parciais separadamente:
- Para
, obtemos , . - Para
, obtemos , , .
Somando tudo,
Passo 5
Aplicando a transformada inversa termo a termo:
Note que
e
, como dado.
Passo 6
Para
desaparecem os expoentes e fica
ou seja, o carro estabiliza num deslocamento de
m (10 cm), igual à altura da calçada.
Resposta
a)
b) O carro estabiliza em m.
b) O carro estabiliza em