Exercício 2 - Um modelo tradicional para suspensão veicular é o chamado 1 / 4 de carro. Uma versão simplificada deste pode ser dada pela equação:
m ddotx(t)+c dotx(t)+k x(t)=c doty(t)+k y(t)
sendo m[kg] a massa de 1 / 4 de carro, c[kg m^N s / m] e k[N / m] são os coeficientes de amortecimento e rigidez da suspensão veicular respectivamente. x(t)[m], dotx(t)[m / s] e ddotx(t) representam o deslocamento, velocidade e aceleração verticais do carro, enquanto y(t)[m] e doty(t)[m / s] são o deslocamento e velocidade impostos ao pneu do veículo. Uma bancada didática foi construída para representar este tipo de sistema com m=1 kg, c=5 N s / m e k=6 N / m. Supondo ainda uma condição inicial tal que x(t=0)=0,01 metros, e dotx(t=0)=0, e considerando que o veículo está subindo em uma calçada de 10 cm de altura, tal que a entrada possa ser modelada por y(t)=0,1 u(t) (onde u(t) é a função degrau unitário). Pede-se:
a) Calcule a expressão de x(t) nas condições fornecidas utilizando a transformada de Laplace; .
b) Analise a expressão calculada na letra a) e entenda em que nível de deslocamento x(t) o carro estabiliza seu movimento após passar pela calçada (se quiser entender melhor o comportamento de x(t) você pode esboçar um gráfico dessa resposta).

Passo 1

O enunciado descreve um sistema massa-mola-amortecedor (modelo 1/4 de carro) governado por
mddot x(t)+cdot x(t)+k x(t)=cdot y(t)+k y(t),
com m=1, c=5, k=6, condição inicial x(0)=0,01, dot x(0)=0 e entrada degrau y(t)=0,1,u(t).
Conteúdo: solução de EDO linear com transformada de Laplace, aplicação de condições iniciais e decomposição em frações parciais.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace nos dois lados, lembrando
Isso dá

Passo 3

Reúnindo termos em X(s) e isolando, obtemos
X(s)l(s^2+5s+6r) = 0,1,(5s+6)s+0,01,s+0,05
Escrevendo o numerador como
0,6s+0,01s+0,05 =0,01s+0,55+0,6s,
temos
X(s)=0,01s+0,55(s+2)(s+3) +0,6s,(s+2)(s+3)

Passo 4

Fazendo frações parciais separadamente:
  1. Para 0,01s+0,55(s+2)(s+3)=As+2+Bs+3, obtemos A=0,53, B=-0,52.
  2. Para 0,6s(s+2)(s+3)=Cs+Ds+2+Es+3, obtemos C=0,1, D=-0,3, E=0,2.
    Somando tudo,
X(s)=0,1s+0,23s+2-0,32s+3

Passo 5

Aplicando a transformada inversa termo a termo:
x(t)=0,1+0,23,e^-2t-0,32,e^-3t
Note que x(0)=0,1+0,23-0,32=0,01 e dot x(0)=0, como dado.

Passo 6

Para ttoinfty desaparecem os expoentes e fica
x(infty)=0,1 (m),
ou seja, o carro estabiliza num deslocamento de 0,1 m (10 cm), igual à altura da calçada.

Resposta

a) x(t)=0,1+0,23,e^-2t-0,32,e^-3t
b) O carro estabiliza em x(infty)=0,1 m.

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