Exercício 4 - Um sistema dinâmico é governado pela seguinte função de transferência:
onde e são as variáveis de saída e entrada representadas no domínio de Laplace. Sobre esse sistema, pede-se:
a) Calcule a expressão da resposta do sistema sob uma entrada do tipo impulso unitário (delta de Dirac) considerando condições iniciais nulas.
b) Para esse mesmo sistema, calcule a resposta sob o efeito de uma condição inicial e supondo que o sinal de entrada é zero também.
Passo 1
O enunciado dá a função de transferência
e pede:
a) a resposta ao impulso unitário com condições iniciais nulas;
b) a resposta livre (entrada zero) com , e .
O conteúdo usado será decomposição em frações parciais e inversa de Laplace em (a) e solução da equação homogênea de º ordem mais ajuste pelos CI em (b).
Passo 2
Fatoramos o polinômio do denominador:
onde as raízes são e .
Passo 3
Fazemos a decomposição
Multiplicando em comum e igualando coeficientes obtemos
Reescrevendo o numerador do segundo termo sobre :
logo
Passo 4
Aplicando inversa de Laplace termo a termo para :
Passo 5
Portanto, a resposta ao impulso unitário é
Passo 6
Para a resposta livre (entrada zero) escrevemos a solução homogênea geral
Passo 7
Impondo os CI em : ) . ) dá . ) dá .
Passo 8
Resolvendo o sistema
obtemos
A = tfrac215, B = -tfrac130, D = tfrac110raiz3 = tfracraiz330