Exercício 4 - Um sistema dinâmico é governado pela seguinte função de transferência:
X0Ui(s)=s+3s^3+3 s^2+6 s+4
onde X0(s) e Ui(s) são as variáveis de saída e entrada representadas no domínio s de Laplace. Sobre esse sistema, pede-se:
a) Calcule a expressão da resposta do sistema x0(t) sob uma entrada do tipo impulso unitário (delta de Dirac) ui(t)=de<a(t) considerando condições iniciais nulas.
b) Para esse mesmo sistema, calcule a resposta x0(t) sob o efeito de uma condição inicial x0(t=0)=0,1 e dotx0(t=0)=ddotx0(t=0)=0 supondo que o sinal de entrada é zero também.

Passo 1

O enunciado dá a função de transferência
X0(s)Ui(s) = s+3s^3 + 3s^2 + 6s + 4
e pede:
a) a resposta ao impulso unitário de<a(t) com condições iniciais nulas;
b) a resposta livre (entrada zero) com x0(0)=0,1, dot x0(0)=0 e ddot x0(0)=0.
O conteúdo usado será decomposição em frações parciais e inversa de Laplace em (a) e solução da equação homogênea de 3º ordem mais ajuste pelos CI em (b).

Passo 2

Fatoramos o polinômio do denominador:
s^3 + 3s^2 + 6s + 4 = (s + 1),(s^2 + 2s + 4)
onde as raízes são s=-1 e s=-1pm jraiz3.

Passo 3

Fazemos a decomposição
s+3(s+1)(s^2+2s+4) = As+1 + B,s + Cs^2 + 2s + 4
Multiplicando em comum e igualando coeficientes obtemos
A = tfrac23, B = -tfrac23, C = tfrac13
Reescrevendo o numerador do segundo termo sobre (s+1)^2+3:
-,tfrac23s + tfrac13 = -tfrac23(s+1) + 1,
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s+3(s+1)(s^2+2s+4) = tfrac23s+1 + -tfrac23(s+1) + 1(s+1)^2 + (,raiz3,)^2

Passo 4

Aplicando inversa de Laplace termo a termo para t>=0:
L^-1tfrac23tfrac1s+1 = tfrac23e^-t,
L^-1-tfrac23s+1(s+1)^2+3 = -tfrac23e^-tcos(raiz3,t),
L^-11(s+1)^2+3 = 1raiz3,e^-tsin(raiz3,t)

Passo 5

Portanto, a resposta ao impulso unitário é
x0(t) = e^-tl[tfrac23 - tfrac23cos(raiz3,t) + tfrac1raiz3sin(raiz3,t)r], t>=0

Passo 6

Para a resposta livre (entrada zero) escrevemos a solução homogênea geral
x0(t) = e^-tl[A + Bcos(raiz3,t) + Dsin(raiz3,t)r]

Passo 7

Impondo os CI em t=0:
1) x0(0)=A+B=0,1.
2) dot x0(0)=0 -,(A+B)+D,raiz3=0.
3) ddot x0(0)=0 A -2B -2Draiz3=0.

Passo 8

Resolvendo o sistema
A + B = 0,1, -(A+B) + Draiz3 = 0, A - 2B - 2Draiz3 = 0,
obtemos
A = tfrac215, B = -tfrac130, D = tfrac110raiz3 = tfracraiz330

Passo 9

Logo a resposta livre fica
x0(t) = e^-tl[tfrac215 - tfrac130cos(raiz3,t) + tfracraiz330sin(raiz3,t)r], t>=0

Resposta

a) x0(t) = e^-tl[23 - 23cos(raiz3,t) + 1raiz3sin(raiz3,t)r]\n b) x0(t) = e^-tl[215 - 130cos(raiz3,t) + raiz330sin(raiz3,t)r]

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