Exercício 4. Mostrar que para todo n de \mathbb{N}^{*}, 2^{n} \geq n.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, para todo n em \mathbb{N}^* (isto é, n\ge1), vale
2^n \ge n.
O método mais direto aqui é o princípio da indução em \mathbb{N}.

Passo 2

Base da indução n=1:
2^1 = 2 \ge 1,
logo a propriedade é verdadeira para n=1.

Passo 3

Passo indutivo – hipótese de indução: suponha que a desigualdade seja verdadeira para um certo k\ge1, isto é, suponha que
2^k \ge k.

Passo 4

Agora mostramos que, sob essa hipótese, a desigualdade vale também para n=k+1. De fato,
2^{\,k+1} = 2\cdot 2^k \ge 2\cdot k
(porque, pela hipótese, 2^k\ge k). Como k\ge1, temos
2k \ge k+1
(visto que 2k-(k+1)=k-1\ge0). Logo
2^{\,k+1} \ge k+1.

Resposta

Pelo princípio da indução, concluímos que, para todo n\in\mathbb{N}^*,
2^n \ge n.

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