Exercício 4. Mostrar que para todo
de
.
Passo 1
O enunciado pede para provar que, para todo
em
(isto é,
), vale
O método mais direto aqui é o princípio da indução em
.
Passo 2
Base da indução
:
logo a propriedade é verdadeira para
.
Passo 3
Passo indutivo – hipótese de indução: suponha que a desigualdade seja verdadeira para um certo
, isto é, suponha que
Passo 4
Agora mostramos que, sob essa hipótese, a desigualdade vale também para
. De fato,
(porque, pela hipótese,
). Como
, temos
(visto que
). Logo
Resposta
Pelo princípio da indução, concluímos que, para todo
,